Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1-3^{x}}{5^{x}+2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular, se existir, o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{1-3^{x}}{5^{x}+2}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A variável tende para +\infty.
  • Aparecem exponenciais com bases positivas: 3^{x} no numerador e 5^{x} no denominador.
  • É preciso dizer o valor do limite ou explicar por que ele não existe.

Passo 2

Para comparar comportamentos quando x\to+\infty é útil “fatorar” ou dividir numerador e denominador por a maior potência presente, aqui 5^{x}. Faço a divisão termo a termo:
\frac{1-3^{x}}{5^{x}+2} = \frac{\dfrac{1}{5^{x}}-\dfrac{3^{x}}{5^{x}}}{1+\dfrac{2}{5^{x}}} = \frac{\dfrac{1}{5^{x}}-\bigl(\dfrac{3}{5}\bigr)^{x}}{1+\dfrac{2}{5^{x}}}.

Passo 3

Agora analiso os limites das partes que apareceram após a divisão.
Primeiro, \dfrac{1}{5^{x}}. Como 5>1, a potência 5^{x} cresce sem limite quando x\to+\infty; portanto o inverso tende a zero:
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{5^{x}}=0.
Explicação curta: 5^{x}\to+\infty então 1/5^{x}\to0.

Passo 4

Segundo, \bigl(\dfrac{3}{5}\bigr)^{x}. Aqui a base é \dfrac{3}{5}, que pertence ao intervalo (0,1). Uma potência com base em (0,1) tende a zero quando o expoente vai para +\infty. Mais rigorosamente, como \ln\!\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)<0, tem-se \bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^{x}=e^{x\ln(3/5)}\to0.
\lim_{x\to+\infty}\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^{x}=0.

Passo 5

Terceiro, \dfrac{2}{5^{x}} também tende a zero pelo mesmo motivo de \dfrac{1}{5^{x}}:
\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{5^{x}}=0.

Passo 6

Usando os resultados dos passos anteriores, tomo o limite da expressão transformada:
\lim_{x\to+\infty}\frac{\dfrac{1}{5^{x}}-\bigl(\dfrac{3}{5}\bigr)^{x}}{1+\dfrac{2}{5^{x}}} = \frac{0-0}{1+0}=\frac{0}{1}=0.
Portanto o limite existe e vale 0.
Observação didática extra (útil para provas): de forma intuitiva, entre 3^{x} e 5^{x} quem cresce mais rápido é 5^{x} (porque 5>3), então a razão \dfrac{3^{x}}{5^{x}}=\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^{x} tende a zero; isso faz com que o numerador seja muito pequeno comparado ao denominador quando x é grande, levando ao resultado 0. Também nota-se que para x grande a fração é negativa (pois 1-3^{x}<0), então o limite é 0 vindo do lado negativo, mas o valor do limite é simplesmente 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados