Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede para calcular, se existir, o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A variável tende para
. - Aparecem exponenciais com bases positivas:
no numerador e no denominador. - É preciso dizer o valor do limite ou explicar por que ele não existe.
Passo 2
Para comparar comportamentos quando
é útil “fatorar” ou dividir numerador e denominador por a maior potência presente, aqui
. Faço a divisão termo a termo:
Passo 3
Agora analiso os limites das partes que apareceram após a divisão.
Primeiro,
. Como
, a potência
cresce sem limite quando
; portanto o inverso tende a zero:
Explicação curta:
então
.
Passo 4
Segundo,
. Aqui a base é
, que pertence ao intervalo
. Uma potência com base em
tende a zero quando o expoente vai para
. Mais rigorosamente, como
, tem-se
.
Passo 5
Terceiro,
também tende a zero pelo mesmo motivo de
:
Passo 6
Usando os resultados dos passos anteriores, tomo o limite da expressão transformada:
Portanto o limite existe e vale
.
Observação didática extra (útil para provas): de forma intuitiva, entre
e
quem cresce mais rápido é
(porque
), então a razão
tende a zero; isso faz com que o numerador seja muito pequeno comparado ao denominador quando
é grande, levando ao resultado
. Também nota-se que para
grande a fração é negativa (pois
), então o limite é
vindo do lado negativo, mas o valor do limite é simplesmente
.