Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\log _{3} x}{\log _{3} x+5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0} \frac{1+\log_{3} x}{\log_{3} x+5},
ou, se não existir, explicar o porquê. Informações dadas e observações imediatas:
  • A função considerada é f(x)=\dfrac{1+\log_{3} x}{\log_{3} x+5}.
  • A função \log_{3} x está definida somente para x>0. Logo f(x) só está definida para x>0.
  • Portanto, ao falar de \lim_{x\to 0} f(x) precisamos considerar que o limite pela esquerda ( x\to0^-) não faz sentido porque f não está definida para x\le0. Assim há diferença entre o limite bilateral e o limite pela direita; teremos que analisar o limite quando x\to0^+.

Passo 2

Explicar o que ocorre com \log_{3} x quando x\to0^+. Usa-se a propriedade básica dos logaritmos:
\lim_{x\to0^+}\log_{3} x = -\infty.
Isto significa que, ao aproximarmos x de 0 pela direita, o valor de \log_{3} x fica arbitrariamente negativo (tende a menos infinito).

Passo 3

Transformar a expressão usando a variável t=\log_{3} x. Quando x\to0^+ temos t\to -\infty. Reescrevendo a função em termos de t:
\frac{1+\log_{3} x}{\log_{3} x+5}=\frac{1+t}{t+5}, \qquad\text{com } t=\log_{3} x\text{ e }t\to -\infty.

Passo 4

Calcular o limite quando t\to -\infty de \dfrac{1+t}{t+5}. Procedimento algébrico padrão: dividir numerador e denominador por t (que tende a -\infty, mas isso não impede a divisão):
\frac{1+t}{t+5}=\frac{t\bigl(1+\dfrac{1}{t}\bigr)}{t\bigl(1+\dfrac{5}{t}\bigr)} =\frac{1+\dfrac{1}{t}}{1+\dfrac{5}{t}}.
Como t\to -\infty temos \dfrac{1}{t}\to 0 e \dfrac{5}{t}\to 0. Portanto
\lim_{t\to -\infty}\frac{1+\dfrac{1}{t}}{1+\dfrac{5}{t}}=\frac{1+0}{1+0}=1.

Passo 5

Interpretação e verificação intuitiva: tanto o numerador quanto o denominador são dominados pelo termo t quando |t| é grande, então a razão tende ao quociente dos coeficientes de t, que é 1. Um exemplo numérico rápido (apenas para intuição): para x muito pequeno, \log_{3}x é um número grande negativo; por exemplo para x=10^{-30} obtém-se um t grande em módulo e a razão fica próxima de 1.

Passo 6

Conclusão sobre existência do limite pedido:
  • O limite pela direita existe e vale
\lim_{x\to 0^+}\frac{1+\log_{3} x}{\log_{3} x+5}=1.
  • O limite bilateral \lim_{x\to 0} não existe porque a função não está definida para x\le0; portanto o limite pela esquerda \lim_{x\to0^-} não existe e, por isso, o limite bilateral também não existe.

Resposta

O limite bilateral \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1+\log_{3} x}{\log_{3} x+5} não existe.
O limite pela direita é \displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{1+\log_{3} x}{\log_{3} x+5}=1.

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