Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
ou, se não existir, explicar o porquê. Informações dadas e observações imediatas:
- A função considerada é
. - A função
está definida somente para . Logo só está definida para . - Portanto, ao falar de
precisamos considerar que o limite pela esquerda ( ) não faz sentido porque não está definida para . Assim há diferença entre o limite bilateral e o limite pela direita; teremos que analisar o limite quando .
Passo 2
Explicar o que ocorre com
quando
. Usa-se a propriedade básica dos logaritmos:
Isto significa que, ao aproximarmos
de
pela direita, o valor de
fica arbitrariamente negativo (tende a menos infinito).
Passo 3
Transformar a expressão usando a variável
. Quando
temos
. Reescrevendo a função em termos de
:
Passo 4
Calcular o limite quando
de
. Procedimento algébrico padrão: dividir numerador e denominador por
(que tende a
, mas isso não impede a divisão):
Como
temos
e
. Portanto
Passo 5
Interpretação e verificação intuitiva: tanto o numerador quanto o denominador são dominados pelo termo
quando
é grande, então a razão tende ao quociente dos coeficientes de
, que é
. Um exemplo numérico rápido (apenas para intuição): para
muito pequeno,
é um número grande negativo; por exemplo para
obtém-se um
grande em módulo e a razão fica próxima de
.
Passo 6
Conclusão sobre existência do limite pedido:
- O limite pela direita existe e vale
- O limite bilateral
não existe porque a função não está definida para ; portanto o limite pela esquerda não existe e, por isso, o limite bilateral também não existe.
Resposta
O limite bilateral
não existe.
O limite pela direita é .
O limite pela direita é