Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log _{2} x+1}{3+\log _{5} x}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to 0} \frac{\log_{2} x + 1}{3 + \log_{5} x}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão envolve \log_{2} x e \log_{5} x.
  • A função logarítmica só está definida para x>0; portanto a aproximação x\to 0 significa, de fato, x\to 0^{+}.
  • Precisamos determinar se o limite existe e, caso exista, calcular o seu valor; se não existir, explicar por que.

Passo 2

Lembrete sobre logs e mudança de base (uma ferramenta que vamos usar): para qualquer base a>0, a\neq1, vale a fórmula de mudança de base
\log_{a} x = \frac{\ln x}{\ln a},
onde \ln x é o logaritmo natural (base e). Aqui \ln x é a função que tende a -\infty quando x\to 0^{+}, isto é,
\ln x \to -\infty \quad\text{quando}\quad x\to 0^{+}.
Explicando as variáveis: x é a variável que tende a 0^{+}, \ln x é seu logaritmo natural; \ln 2 e \ln 5 são constantes positivas.

Passo 3

Usando a mudança de base, reescrevemos cada logaritmo em termos de \ln:
\log_{2} x = \frac{\ln x}{\ln 2},\qquad \log_{5} x = \frac{\ln x}{\ln 5}.
Substituindo na expressão do limite, obtemos
\frac{\log_{2} x + 1}{3 + \log_{5} x} = \frac{\dfrac{\ln x}{\ln 2} + 1}{3 + \dfrac{\ln x}{\ln 5}}.

Passo 4

Vamos analisar o comportamento quando x\to 0^{+}. Como dito, \ln x \to -\infty, portanto os termos \dfrac{\ln x}{\ln 2} e \dfrac{\ln x}{\ln 5} dominam os termos constantes 1 e 3. Uma forma sistemática de ver o limite é fatorar \ln x no numerador e no denominador. Escrevendo:
\frac{\dfrac{\ln x}{\ln 2} + 1}{3 + \dfrac{\ln x}{\ln 5}} = \frac{\dfrac{\ln x}{\ln 2}\!\left(1 + \dfrac{\ln 2}{\ln x}\right)} {\dfrac{\ln x}{\ln 5}\!\left(1 + \dfrac{3\ln 5}{\ln x}\right)}.

Passo 5

Simplificando a fração anterior, os fatores \dfrac{\ln x}{\ln 2} e \dfrac{\ln x}{\ln 5} têm \ln x em comum e cancelam, restando
\frac{\dfrac{\ln x}{\ln 2} + 1}{3 + \dfrac{\ln x}{\ln 5}} = \frac{\dfrac{1}{\ln 2}}{\dfrac{1}{\ln 5}}\cdot \frac{1 + \dfrac{\ln 2}{\ln x}}{1 + \dfrac{3\ln 5}{\ln x}} = \frac{\ln 5}{\ln 2}\cdot \frac{1 + \dfrac{\ln 2}{\ln x}}{1 + \dfrac{3\ln 5}{\ln x}}.
Agora observe que, quando x\to 0^{+}, tem-se \ln x \to -\infty, logo
\frac{\ln 2}{\ln x}\to 0 \quad\text{e}\quad \frac{3\ln 5}{\ln x}\to 0.
Portanto os fatores das frações tendem a 1, e a expressão inteira tende a
\frac{\ln 5}{\ln 2}.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida: intuitivamente, tanto o numerador quanto o denominador têm termo dominante proporcional a \ln x; para limites do tipo \dfrac{a\ln x + b}{c\ln x + d} quando \ln x\to\pm\infty, o limite (se c\neq0) é a/c. Aqui a=\dfrac{1}{\ln 2} e c=\dfrac{1}{\ln 5}, daí o limite a/c=\dfrac{\ln 5}{\ln 2}. Note que este valor é positivo; também se pode escrevê-lo como \log_{2}5, pois
\log_{2}5=\frac{\ln 5}{\ln 2}.

Resposta

\dfrac{\ln 5}{\ln 2}

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