Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
Informações relevantes dadas:
- A expressão envolve
e . - A função logarítmica só está definida para
; portanto a aproximação significa, de fato, . - Precisamos determinar se o limite existe e, caso exista, calcular o seu valor; se não existir, explicar por que.
Passo 2
Lembrete sobre logs e mudança de base (uma ferramenta que vamos usar): para qualquer base
,
, vale a fórmula de mudança de base
onde
é o logaritmo natural (base
). Aqui
é a função que tende a
quando
, isto é,
Explicando as variáveis:
é a variável que tende a
,
é seu logaritmo natural;
e
são constantes positivas.
Passo 3
Usando a mudança de base, reescrevemos cada logaritmo em termos de
:
Substituindo na expressão do limite, obtemos
Passo 4
Vamos analisar o comportamento quando
. Como dito,
, portanto os termos
e
dominam os termos constantes
e
. Uma forma sistemática de ver o limite é fatorar
no numerador e no denominador. Escrevendo:
Passo 5
Simplificando a fração anterior, os fatores
e
têm
em comum e cancelam, restando
Agora observe que, quando
, tem-se
, logo
Portanto os fatores das frações tendem a
, e a expressão inteira tende a
Passo 6
Interpretação e verificação rápida: intuitivamente, tanto o numerador quanto o denominador têm termo dominante proporcional a
; para limites do tipo
quando
, o limite (se
) é
. Aqui
e
, daí o limite
. Note que este valor é positivo; também se pode escrevê-lo como
, pois