Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede calcular, se existir, o limite
Informações relevantes dadas:
- A expressão que varia com
é . - A variável
tende para . - A tarefa é determinar se o limite existe e, se sim, encontrar o seu valor.
Passo 2
Fazer uma substituição simples para enxugar a expressão e reduzir ao caso padrão. Defina
Quando
temos
. Substituindo na expressão,
Portanto o limite se transforma em
Agora a nossa meta é calcular
.
Passo 3
Vou mostrar por que
. Primeiro, para
vale a desigualdade geométrica clássica
Explicando rapidamente a origem: considere o círculo unitário e o setor de ângulo
. A área do triângulo inscrito no setor é
. A área do setor é
. A área do triângulo formado pela tangente (o triângulo externo ao setor) é
. Como o triângulo interno tem área menor que o setor, que por sua vez tem área menor que o triângulo externo, obtemos
o que implica
.
Passo 4
A partir de
para
, escreva
. Dividindo a desigualdade
por
obtemos
Tomando recíprocos (note que todas as quantidades são positivas, então a desigualdade inverte) resulta
Agora usamos o Teorema do Aperto (squeeze theorem): se uma função fica entre
e
, e se
e
, então
Passo 5
Para a aproximação pela esquerda (
) usamos que
é uma função ímpar, ou seja
. Assim
o que mostra que o comportamento à esquerda é o mesmo que à direita. Logo o limite bilateral existe e vale
Passo 6
Voltando à variável original
(lembre que
), concluímos
Força aí — esse é um dos limites mais úteis e aparece muito em provas; decorar o raciocínio por cima ajuda bastante na hora!