Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\operatorname{sen}(x-2)}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede calcular, se existir, o limite
\lim_{x\to 2}\frac{\operatorname{sen}(x-2)}{x-2}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão que varia com x é \dfrac{\operatorname{sen}(x-2)}{x-2}.
  • A variável x tende para 2.
  • A tarefa é determinar se o limite existe e, se sim, encontrar o seu valor.

Passo 2

Fazer uma substituição simples para enxugar a expressão e reduzir ao caso padrão. Defina
u = x-2.
Quando x \to 2 temos u \to 0. Substituindo na expressão,
\frac{\operatorname{sen}(x-2)}{x-2} = \frac{\sin u}{u}.
Portanto o limite se transforma em
\lim_{x\to 2}\frac{\operatorname{sen}(x-2)}{x-2} = \lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}.
Agora a nossa meta é calcular \lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}.

Passo 3

Vou mostrar por que \displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1. Primeiro, para 0<u<\dfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica clássica
\sin u < u < \tan u.
Explicando rapidamente a origem: considere o círculo unitário e o setor de ângulo u. A área do triângulo inscrito no setor é \tfrac{1}{2}\sin u. A área do setor é \tfrac{1}{2}u. A área do triângulo formado pela tangente (o triângulo externo ao setor) é \tfrac{1}{2}\tan u. Como o triângulo interno tem área menor que o setor, que por sua vez tem área menor que o triângulo externo, obtemos
\tfrac{1}{2}\sin u < \tfrac{1}{2}u < \tfrac{1}{2}\tan u,
o que implica \sin u < u < \tan u.

Passo 4

A partir de \sin u < u < \tan u para 0<u<\dfrac{\pi}{2}, escreva \tan u = \dfrac{\sin u}{\cos u}. Dividindo a desigualdade \sin u < u < \dfrac{\sin u}{\cos u} por \sin u>0 obtemos
1 < \frac{u}{\sin u} < \frac{1}{\cos u}.
Tomando recíprocos (note que todas as quantidades são positivas, então a desigualdade inverte) resulta
\cos u < \frac{\sin u}{u} < 1.
Agora usamos o Teorema do Aperto (squeeze theorem): se uma função fica entre \cos u e 1, e se \lim_{u\to 0^+}\cos u = 1 e \lim_{u\to 0^+}1 = 1, então
\lim_{u\to 0^+}\frac{\sin u}{u} = 1.

Passo 5

Para a aproximação pela esquerda ( u\to 0^-) usamos que \sin é uma função ímpar, ou seja \sin(-u) = -\sin u. Assim
\frac{\sin(-u)}{-u} = \frac{\sin u}{u},
o que mostra que o comportamento à esquerda é o mesmo que à direita. Logo o limite bilateral existe e vale
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u} = 1.

Passo 6

Voltando à variável original x (lembre que u=x-2), concluímos
\lim_{x\to 2}\frac{\operatorname{sen}(x-2)}{x-2} = \lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u} = 1.
Força aí — esse é um dos limites mais úteis e aparece muito em provas; decorar o raciocínio por cima ajuda bastante na hora!

Resposta

1

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