Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2-2 \cdot \cos x}{3 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular, se existir, o limite
\lim_{x\to 0}\frac{2-2\cdot\cos x}{3x^{2}}.
As informações que temos são apenas a expressão acima e que a variável x tende a 0. O objetivo é decidir se esse limite existe e, se existir, encontrar o seu valor numérico.

Passo 2

Primeiro vou simplificar a expressão algébrica, deixando fatores constantes explícitos. Podemos pôr em evidência o 2:
\frac{2-2\cos x}{3x^{2}}=\frac{2(1-\cos x)}{3x^{2}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1-\cos x}{x^{2}}.

Passo 3

Agora uso uma identidade trigonométrica útil e muito usada em limites: \,1-\cos x=2\sin^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\,. Substituindo:
\frac{2}{3}\cdot\frac{1-\cos x}{x^{2}} =\frac{2}{3}\cdot\frac{2\sin^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{x^{2}} =\frac{4}{3}\cdot\frac{\sin^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{x^{2}}.
Agora manipulo \dfrac{\sin^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{x^{2}} de forma conveniente: escrevo
\frac{\sin^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{x^{2}} =\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}\right)^{2}\cdot\left(\frac{\dfrac{x}{2}}{x}\right)^{2} =\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}\right)^{2}\cdot\frac{1}{4}.
Substituindo isso na expressão anterior:
\frac{4}{3}\cdot\frac{\sin^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{x^{2}} =\frac{4}{3}\cdot\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}\right)^{2}\cdot\frac{1}{4} =\frac{1}{3}\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}\right)^{2}.

Passo 4

O passo-chave é usar o limite trigonométrico clássico
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
Uma justificativa rápida (intuitiva e comum) para esse limite usa a desigualdade geométrica para u>0 pequena:
\cos u \le \frac{\sin u}{u} \le 1.
Como \lim_{u\to 0}\cos u=1 e \lim_{u\to 0}1=1, pelo teorema do confronto (squeeze) segue que \lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1. (Se preferir, dá também para provar esse limite usando a regra de l’Hôpital: \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=\lim_{u\to0}\frac{\cos u}{1}=\cos 0=1.)

Passo 5

Aplicando esse resultado com u=\dfrac{x}{2} (note que quando x\to0 também temos u\to0), obtemos
\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}\right)=1.
Logo o quadrado tende a 1 também:
\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}\right)^{2}=1.
Pelo que encontramos no Passo 3,
\lim_{x\to 0}\frac{2-2\cos x}{3x^{2}}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{3}\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}\right)^{2}=\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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