Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê. \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2-2 \cdot \cos x}{3 x^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para calcular, se existir, o limite
\lim_{x\to 0}\frac{2-2\cdot\cos x}{3x^{2}}.
As informações que temos são apenas a expressão acima e que a variável x tende a 0. O objetivo é decidir se esse limite existe e, se existir, encontrar o seu valor numérico.
Passo 2
Primeiro vou simplificar a expressão algébrica, deixando fatores constantes explícitos. Podemos pôr em evidência o 2:
O passo-chave é usar o limite trigonométrico clássico
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
Uma justificativa rápida (intuitiva e comum) para esse limite usa a desigualdade geométrica para u>0 pequena:
\cos u \le \frac{\sin u}{u} \le 1.
Como \lim_{u\to 0}\cos u=1 e \lim_{u\to 0}1=1, pelo teorema do confronto (squeeze) segue que \lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1. (Se preferir, dá também para provar esse limite usando a regra de l’Hôpital: \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=\lim_{u\to0}\frac{\cos u}{1}=\cos 0=1.)
Passo 5
Aplicando esse resultado com u=\dfrac{x}{2} (note que quando x\to0 também temos u\to0), obtemos