Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede para calcular, se existir, o limite
Informações dadas e o que é pedido:
- A expressão depende da variável
e envolve uma potência com base e expoente . - A variável
tende para . - A tarefa é encontrar o valor do limite ou explicar por que ele não existe.
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): quando temos uma expressão do tipo
costuma ser útil tomar o logaritmo natural para transformar potência em produto, porque limites de produtos/quotientes são mais fáceis de manipular. Vou definir a quantidade cujo limite queremos e trabalhar com seu logaritmo.
Seja
Assumindo que o limite dos logaritmos existe finito, vale
Explicar cada símbolo:
é o logaritmo natural; aqui
é o limite do produto
. O objetivo agora é calcular esse limite do produto.
Passo 3
Analisar o limite
Observação dos comportamentos: quando
temos
, então
. Assim
é do tipo
, que é uma indeterminação. Para resolver, reescrevo
como uma razão para poder aplicar um método padrão (por exemplo, a regra de l’Hôpital):
Agora tanto o numerador quanto o denominador tendem a
quando
, temos a forma
.
Passo 4
Aplicar a regra de l’Hôpital (explicando o porquê): a regra de l’Hôpital diz que, se numerador e denominador tendem a
(ou ambos a
) e são diferenciáveis, então o limite da razão é igual ao limite da razão das derivadas (quando este último existir). Aqui podemos diferenciar numerador e denominador em relação a
.
Derivada do numerador:
Calcular
: como
, sua derivada é
. Portanto
Derivada do denominador
é
.
Aplicando l’Hôpital:
Passo 5
Simplificar a expressão obtida após l’Hôpital:
Porque os sinais negativos e os fatores
cancelam. Agora, quando
tem-se
, então
. Portanto
Passo 6
Retornar ao logaritmo do limite: lembrando que
, concluímos que
Exponentiando ambos os lados (a função exponencial é contínua), obtemos
Passo 7
Comentário alternativo (intuitivo e curto, reforço): se fizer a substituição
então
quando
e
Sabe-se (ou se prova do mesmo jeito, tomando logaritmo) que
. Assim o limite final é
, igual ao encontrado acima. Isso confirma o resultado.