Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{5 x}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular, se existir, o limite
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{5x}\right)^{x}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A expressão depende da variável x e envolve uma potência com base \left(1+\dfrac{1}{5x}\right) e expoente x.
  • A variável x tende para +\infty.
  • A tarefa é encontrar o valor do limite ou explicar por que ele não existe.

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): quando temos uma expressão do tipo \left(1+\text{pequeno}\right)^{\text{grande}} costuma ser útil tomar o logaritmo natural para transformar potência em produto, porque limites de produtos/quotientes são mais fáceis de manipular. Vou definir a quantidade cujo limite queremos e trabalhar com seu logaritmo.
Seja
L=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{5x}\right)^{x}.
Assumindo que o limite dos logaritmos existe finito, vale
\ln L=\lim_{x\to+\infty} x\ln\!\left(1+\frac{1}{5x}\right).
Explicar cada símbolo: \ln é o logaritmo natural; aqui \ln L é o limite do produto x\cdot\ln\!\left(1+\dfrac{1}{5x}\right). O objetivo agora é calcular esse limite do produto.

Passo 3

Analisar o limite
S=\lim_{x\to+\infty} x\ln\!\left(1+\frac{1}{5x}\right).
Observação dos comportamentos: quando x\to+\infty temos \dfrac{1}{5x}\to 0, então \ln\!\left(1+\dfrac{1}{5x}\right)\to 0. Assim S é do tipo \infty\cdot 0, que é uma indeterminação. Para resolver, reescrevo S como uma razão para poder aplicar um método padrão (por exemplo, a regra de l’Hôpital):
S=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{1}{5x}\right)}{1/x}.
Agora tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando x\to+\infty, temos a forma 0/0.

Passo 4

Aplicar a regra de l’Hôpital (explicando o porquê): a regra de l’Hôpital diz que, se numerador e denominador tendem a 0 (ou ambos a \pm\infty) e são diferenciáveis, então o limite da razão é igual ao limite da razão das derivadas (quando este último existir). Aqui podemos diferenciar numerador e denominador em relação a x.
Derivada do numerador:
\frac{d}{dx}\left[\ln\!\left(1+\frac{1}{5x}\right)\right] = \frac{1}{1+\dfrac{1}{5x}}\cdot\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{5x}\right).
Calcular \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{1}{5x}\right): como \dfrac{1}{5x}=(5x)^{-1}, sua derivada é -1\cdot(5x)^{-2}\cdot 5 = -\dfrac{1}{5x^{2}}. Portanto
\frac{d}{dx}\left[\ln\!\left(1+\frac{1}{5x}\right)\right] = \frac{1}{1+\dfrac{1}{5x}}\cdot\left(-\frac{1}{5x^{2}}\right).
Derivada do denominador 1/x é -1/x^{2}.
Aplicando l’Hôpital:
S=\lim_{x\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{1+\dfrac{1}{5x}}\cdot\left(-\dfrac{1}{5x^{2}}\right)} {\displaystyle -\dfrac{1}{x^{2}}}.

Passo 5

Simplificar a expressão obtida após l’Hôpital:
S=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1+\dfrac{1}{5x}}\cdot\frac{-\dfrac{1}{5x^{2}}}{-\dfrac{1}{x^{2}}} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1+\dfrac{1}{5x}}\cdot\frac{1}{5}.
Porque os sinais negativos e os fatores x^{-2} cancelam. Agora, quando x\to+\infty tem-se \dfrac{1}{5x}\to 0, então \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{5x}}\to 1. Portanto
S=\frac{1}{5}.

Passo 6

Retornar ao logaritmo do limite: lembrando que S=\lim_{x\to+\infty} x\ln\!\left(1+\dfrac{1}{5x}\right)=\ln L, concluímos que
\ln L = \frac{1}{5}.
Exponentiando ambos os lados (a função exponencial é contínua), obtemos
L = e^{1/5}.

Passo 7

Comentário alternativo (intuitivo e curto, reforço): se fizer a substituição t=\dfrac{1}{5x} então t\to 0^+ quando x\to+\infty e
\left(1+\frac{1}{5x}\right)^{x}=\left(1+t\right)^{1/(5t)}=\Bigl[(1+t)^{1/t}\Bigr]^{1/5}.
Sabe-se (ou se prova do mesmo jeito, tomando logaritmo) que \lim_{t\to 0^+}(1+t)^{1/t}=e. Assim o limite final é e^{1/5}, igual ao encontrado acima. Isso confirma o resultado.

Resposta

e^{1/5}

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