Exercício 17. Calcule \iint_{D} x d x d y, onde D a região limitada por y=0, y=x e y=2-x.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais são as informações dadas.
  • O enunciado pede calcular a integral dupla \iint_{D} x\,dx\,dy.
  • A região D é limitada por y=0, y=x e y=2-x.
Agora listamos as interseções das curvas (peguei essas interseções a partir das equações dadas):
  • Interseção de y=0 com y=x: substituindo y=0 em y=x x=0. Ponto (0,0).
  • Interseção de y=0 com y=2-x: substituindo y=0 em y=2-x x=2. Ponto (2,0).
  • Interseção de y=x com y=2-x: igualando x=2-x resulta 2x=2 então x=1 e y=1. Ponto (1,1).
Portanto D é o triângulo com vértices (0,0), (2,0) e (1,1). O que resta é escolher uma ordem de integração e calcular a integral.

Passo 2

Escolher a ordem de integração e obter os limites.
Observando o triângulo, é conveniente fazer cortes horizontais (fixar y e integrar em x). Para um valor fixo de y entre 0 e 1:
  • o limite esquerdo é a reta x=y (rearranjando y=x x=y);
  • o limite direito é a reta x=2-y (rearranjando y=2-x x=2-y).
Como y varia do eixo até o vértice superior, temos 0\le y\le 1.
Logo os limites são: y vai de 0 a 1 e, para cada y, x vai de x=y a x=2-y.

Passo 3

Escrever a integral iterada com os limites que achamos.
A integral dupla corresponde a
\iint_{D} x\,dx\,dy \;=\; \int_{y=0}^{1}\int_{x=y}^{2-y} x\,dx\,dy.
Explico: a integral interna \int_{x=y}^{2-y} x\,dx integra a função x ao longo de cada segmento horizontal do triângulo; a integral externa soma (integra) esses resultados para y de 0 a 1.

Passo 4

Calcular a integral interna em x.
A primitiva de x em relação a x é \dfrac{1}{2}x^{2}, porque a regra básica diz que \int x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}.
Então
\int_{x=y}^{2-y} x\,dx = \left.\frac{1}{2}x^{2}\right|_{x=y}^{x=2-y} = \frac{1}{2}\bigl((2-y)^{2}-y^{2}\bigr).

Passo 5

Simplificar a expressão obtida para a integral interna.
Calculo passo a passo:
(2-y)^{2} = 4 - 4y + y^{2}.
Subtraindo y^{2} temos
(2-y)^{2}-y^{2} = (4 - 4y + y^{2}) - y^{2} = 4 - 4y.
Multiplicando por \dfrac{1}{2}:
\frac{1}{2}\bigl((2-y)^{2}-y^{2}\bigr) = \frac{1}{2}(4-4y) = 2 - 2y.
Portanto a integral dupla fica
\iint_{D} x\,dx\,dy = \int_{0}^{1} (2 - 2y)\,dy.

Passo 6

Calcular a integral externa em y.
A primitiva de 2-2y em relação a y é 2y - y^{2}, pois \int 2\,dy = 2y e \int -2y\,dy = -y^{2}.
Avalio nos limites 0 a 1:
\left. (2y - y^{2}) \right|_{0}^{1} = (2\cdot 1 - 1^{2}) - (2\cdot 0 - 0^{2}) = 2 - 1 = 1.

Passo 7

Interpretação rápida e checagem lógica.
O valor obtido \,1 é o “volume” sob a superfície z=x sobre a região triangular D. As contas foram feitas com integrais elementares e os limites conferem com os vértices do triângulo (0,0),(2,0),(1,1). Tudo consistente.

Resposta

\,1

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