Exercício 19. Calcule
, onde
a região limitada por
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos.
- Pede-se calcular a integral dupla
. - A região
é limitada pelas curvas , e . - Pergunta implícita: descrever a região
no plano e escolher uma ordem de integração adequada para calcular a integral.
Passo 2
Determinar geometricamente a região
(interseções e vértices).
- Interseção de
com : . Isso dá o ponto . - Interseção de
com : substituindo em dá o ponto . - Interseção de
com : substituindo em dá , ponto .
Logo
é o triângulo com vértices
,
e
.
Passo 3
Escolher a descrição do domínio para integrar (tipo “vertical” ou “horizontal”) e justificar.
- Para um dado
entre e , varia entre a reta inferior e a reta superior . Isso é conveniente porque dá um intervalo simples para . - Portanto escolhemos ordem
: primeiro integrar em com indo de a , depois integrar em de a .
Observação importante (teoria usada): se a função integranda é contínua em
(aqui
é polinomial, logo contínua), então a integral dupla sobre
pode ser calculada por integração iterada (teorema de Fubini) na ordem escolhida.
Passo 4
Escrever a integral iterada correspondente e explicar cada parte.
- A integral dupla fica
- Interpretação das variáveis:
-
é a variável externa; percorre o intervalo . -
é a variável interna; para cada fixo varia de até . - A expressão
é a função a ser integrada (área ponderada pelo valor dessa função).
-
Passo 5
Calcular a integral interna em
(integrar
em relação a
) e explicar técnica.
- Para integrar em
tratamos como constante. A primitiva em de é
porque:
-
(pois é constante em relação a ), -
. -
Avaliando entre
e :
- Simplificando os termos:
-
, -
, - soma:
.
-
Portanto a integral interna resulta em
; a integral dupla reduz-se a uma integral em
:
Passo 6
Calcular a integral externa em
e fazer a aritmética passo a passo.
- Calcular a primitiva de
em :
porque
.
- Avaliar de
a :
- Calcular
. Então .
Assim, a integral dupla sobre
vale
.
Passo 7
Verificação alternativa rápida (opcional) para dar confiança: trocar ordem de integração.
- Se integrássemos na ordem
, para cada fixo a varia de (resolvendo para ) até ; e varia de até . - A integral seria
- Seguindo essa rota também se chega ao mesmo resultado
(procedimento análogo: integrar polinômios e avaliar nos limites). Isso confirma consistência do cálculo pela propriedade de Fubini.
Resposta
512