Exercício 19. Calcule \iint_{D}(2 x+2 y) d x d y, onde D a região limitada por x=4, y=0 e y=4 x.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Pede-se calcular a integral dupla \iint_{D}(2 x+2 y)\,d x\,d y.
  • A região D é limitada pelas curvas x=4, y=0 e y=4x.
  • Pergunta implícita: descrever a região D no plano (x,y) e escolher uma ordem de integração adequada para calcular a integral.

Passo 2

Determinar geometricamente a região D (interseções e vértices).
  • Interseção de y=0 com y=4x: \;0=4x\Rightarrow x=0. Isso dá o ponto (0,0).
  • Interseção de y=0 com x=4: substituindo x=4 em y=0 dá o ponto (4,0).
  • Interseção de y=4x com x=4: substituindo x=4 em y=4x y=16, ponto (4,16).
Logo D é o triângulo com vértices (0,0), (4,0) e (4,16).

Passo 3

Escolher a descrição do domínio para integrar (tipo “vertical” ou “horizontal”) e justificar.
  • Para um dado x entre 0 e 4, y varia entre a reta inferior y=0 e a reta superior y=4x. Isso é conveniente porque dá um intervalo simples para y.
  • Portanto escolhemos ordem d y\,d x: primeiro integrar em y com y indo de 0 a 4x, depois integrar em x de 0 a 4.
Observação importante (teoria usada): se a função integranda é contínua em D (aqui 2x+2y é polinomial, logo contínua), então a integral dupla sobre D pode ser calculada por integração iterada (teorema de Fubini) na ordem escolhida.

Passo 4

Escrever a integral iterada correspondente e explicar cada parte.
  • A integral dupla fica
\iint_{D}(2 x+2 y)\,d x\,d y = \int_{x=0}^{4}\left(\int_{y=0}^{4x} (2x+2y)\,d y\right)\,d x.
  • Interpretação das variáveis:
    • x é a variável externa; percorre o intervalo [0,4].
    • y é a variável interna; para cada x fixo varia de 0 até 4x.
    • A expressão 2x+2y é a função a ser integrada (área ponderada pelo valor dessa função).

Passo 5

Calcular a integral interna em y (integrar (2x+2y) em relação a y) e explicar técnica.
  • Para integrar em y tratamos x como constante. A primitiva em y de 2x+2y é
\int (2x+2y)\,d y = 2x\cdot y + y^{2} + C,
porque:
  • \int 2x\,d y = 2x\cdot y (pois 2x é constante em relação a y),
  • \int 2y\,d y = 2\cdot \dfrac{y^{2}}{2}=y^{2}.
  • Avaliando entre y=0 e y=4x:
\left[2x y + y^{2}\right]_{y=0}^{y=4x} = 2x(4x) + (4x)^{2} - \big(2x\cdot 0 + 0^{2}\big).
  • Simplificando os termos:
    • 2x(4x)=8x^{2},
    • (4x)^{2}=16x^{2},
    • soma: 8x^{2}+16x^{2}=24x^{2}.
Portanto a integral interna resulta em 24x^{2}; a integral dupla reduz-se a uma integral em x:
\int_{0}^{4} 24x^{2}\,d x.

Passo 6

Calcular a integral externa em x e fazer a aritmética passo a passo.
  • Calcular a primitiva de 24x^{2} em x:
\int 24x^{2}\,d x = 24\cdot \frac{x^{3}}{3} + C = 8x^{3} + C,
porque \int x^{2}\,d x = \dfrac{x^{3}}{3}.
  • Avaliar de 0 a 4:
\left[8x^{3}\right]_{0}^{4} = 8\cdot 4^{3} - 8\cdot 0^{3}.
  • Calcular 4^{3}=64. Então 8\cdot 64 = 512.
Assim, a integral dupla sobre D vale 512.

Passo 7

Verificação alternativa rápida (opcional) para dar confiança: trocar ordem de integração.
  • Se integrássemos na ordem d x\,d y, para cada y fixo a x varia de x=\dfrac{y}{4} (resolvendo y=4x para x) até x=4; e y varia de 0 até 16.
  • A integral seria
\int_{y=0}^{16}\left(\int_{x=y/4}^{4} (2x+2y)\,d x\right)\,d y.
  • Seguindo essa rota também se chega ao mesmo resultado 512 (procedimento análogo: integrar polinômios e avaliar nos limites). Isso confirma consistência do cálculo pela propriedade de Fubini.

Resposta

512

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