Exercício 19. Determine:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite unilaterial pela direita
\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1}{x}.
Informações dadas e observações claras:
  • A função considerada é f(x)=\dfrac{1}{x}.
  • O ponto onde x se aproxima é 0, mas a aproximação é apenas pela direita: x toma valores positivos e tende a 0 por valores x>0.
  • A função f(x)=\dfrac{1}{x} não está definida em x=0; portanto a pergunta é sobre o comportamento de f(x) quando x é positivo e muito pequeno.

Passo 2

Intuição inicial (sem formalidade): pense em valores de x positivos e cada vez menores. Calcule alguns exemplos numéricos para sentir o comportamento:
\frac{1}{0{,}1}=10,\qquad \frac{1}{0{,}01}=100,\qquad \frac{1}{0{,}001}=1000.
Quando x fica menor (mas positivo), \dfrac{1}{x} cresce e fica muito grande. Isso sugere que, ao aproximar x de 0 pela direita, \dfrac{1}{x} aumenta sem limite superior — ou seja, tende a +\infty.

Passo 3

Explicação do que significa a afirmação "o limite é +\infty" (definição formal de limite divergente para +\infty):
Dizemos que
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{1}{x}=+\infty
se, para todo número real M>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<x<\delta (isto é, x positivo e suficientemente próximo de 0), resulta \dfrac{1}{x}>M.
Essa é a forma precisa de dizer que \dfrac{1}{x} cresce além de qualquer limite quando x tende a 0 pela direita.

Passo 4

Aplicando a definição: dado um M>0 arbitrário, precisamos encontrar \delta>0 tal que se 0<x<\delta então \dfrac{1}{x}>M.
Escolha natural (motivação): se quisermos \dfrac{1}{x}>M, uma maneira direta é exigir x<\dfrac{1}{M}. Assim faz sentido escolher
\delta=\frac{1}{M}.

Passo 5

Verificação algebraica da escolha \delta=\dfrac{1}{M}:
Suponha M>0 e tome \delta=\dfrac{1}{M}. Se 0<x<\delta então 0<x<\dfrac{1}{M}. Como todos os números envolvidos são positivos, ao inverter as desigualdades (relembrando que inverter uma desigualdade entre números positivos troca o sentido) obtemos
\frac{1}{x}>\frac{1}{\delta}=\frac{1}{1/M}=M.
Portanto a condição da definição é satisfeita para qualquer M>0.

Passo 6

Conclusão formal: como para todo M>0 existe \delta=\dfrac{1}{M}>0 tal que 0<x<\delta\Rightarrow \dfrac{1}{x}>M, segue, pela definição de limite divergente, que
\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty.

Resposta

+\infty

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