Exercício 19. Determine:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite unilaterial pela direita
Informações dadas e observações claras:
- A função considerada é
. - O ponto onde
se aproxima é , mas a aproximação é apenas pela direita: toma valores positivos e tende a por valores . - A função
não está definida em ; portanto a pergunta é sobre o comportamento de quando é positivo e muito pequeno.
Passo 2
Intuição inicial (sem formalidade): pense em valores de
positivos e cada vez menores. Calcule alguns exemplos numéricos para sentir o comportamento:
Quando
fica menor (mas positivo),
cresce e fica muito grande. Isso sugere que, ao aproximar
de
pela direita,
aumenta sem limite superior — ou seja, tende a
.
Passo 3
Explicação do que significa a afirmação "o limite é
" (definição formal de limite divergente para
):
Dizemos que
Dizemos que
se, para todo número real
, existe
tal que, sempre que
(isto é,
positivo e suficientemente próximo de
), resulta
.
Essa é a forma precisa de dizer que cresce além de qualquer limite quando
tende a
pela direita.
Essa é a forma precisa de dizer que
Passo 4
Aplicando a definição: dado um
arbitrário, precisamos encontrar
tal que se
então
.
Escolha natural (motivação): se quisermos
, uma maneira direta é exigir
. Assim faz sentido escolher
Passo 5
Verificação algebraica da escolha
:
Suponha e tome
. Se
então
. Como todos os números envolvidos são positivos, ao inverter as desigualdades (relembrando que inverter uma desigualdade entre números positivos troca o sentido) obtemos
Suponha
Portanto a condição da definição é satisfeita para qualquer
.
Passo 6
Conclusão formal: como para todo
existe
tal que
, segue, pela definição de limite divergente, que