Exercício 16. Encontre cada limite a seguir, se existir. Caso contrário, explique por que ele não existe e, se for um limite infinito, diga de que tipo é.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x+\operatorname{sen} x}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to0}\frac{\tan x+\sin x}{x}.
O conteúdo envolve limites de funções trigonométricas e a propriedade de soma de limites. Vamos usar que
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1.

Passo 2

Reescrevemos o quociente como soma de duas frações:
\frac{\tan x+\sin x}{x} = \frac{\tan x}{x} \;+\;\frac{\sin x}{x}.

Passo 3

Pela linearidade do limite, podemos separar:
\lim_{x\to0}\frac{\tan x+\sin x}{x} = \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x} + \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}.

Passo 4

Aplicando os limites trigonométricos conhecidos:
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1,
obtemos
\lim_{x\to0}\frac{\tan x+\sin x}{x} =1+1=2.

Resposta

2

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