Exercício 16. Encontre cada limite a seguir, se existir. Caso contrário, explique por que ele não existe e, se for um limite infinito, diga de que tipo é.
\lim _{x \rightarrow 3} e^{\cos (\pi(x-2))}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x \to 3} e^{\cos(\pi(x-2))}.
Aqui o conteúdo é limite de função composta e vamos usar a propriedade de continuidade das funções envolvidas (função linear, cosseno e exponencial).

Passo 2

Observamos que a função interna
g(x)=\cos(\pi(x-2))
é contínua em todo \mathbb{R} porque x\mapsto \pi(x-2) é linear (portanto contínua) e o cosseno é contínuo. Além disso, a exponencial t\mapsto e^t também é contínua. Logo, a composição x\mapsto e^{g(x)} é contínua em todo lugar.

Passo 3

Pela continuidade da exponencial, podemos passar o limite para o expoente:
\lim_{x \to 3} e^{\cos(\pi(x-2))} = e^{\lim_{x \to 3} \cos(\pi(x-2))}.

Passo 4

Agora calculamos
\lim_{x \to 3} \cos(\pi(x-2)) =\cos\!\bigl(\lim_{x \to 3}\pi(x-2)\bigr) =\cos(\pi\cdot(3-2)) =\cos(\pi) =-1.

Passo 5

Substituindo esse valor no expoente da exponencial, obtemos
\lim_{x \to 3} e^{\cos(\pi(x-2))} = e^{-1}.

Resposta

e^{-1}

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