Exercício 16. Encontre cada limite a seguir, se existir. Caso contrário, explique por que ele não existe e, se for um limite infinito, diga de que tipo é.
\lim _{x \rightarrow 5^{-}} \frac{e^{x}}{(x-5)^{3}}\

Passo 1

O enunciado pede o limite lateral esquerdo \displaystyle \lim_{x\to5^{-}}\frac{e^{x}}{(x-5)^{3}}.
O conteúdo envolvido é análise de limite infinito, usando comportamento de funções exponencial e potência ímpar no denominador.

Passo 2

Quando x\to5^{-}:
  • O numerador satisfaz \displaystyle e^{x}\to e^{5}>0.
  • O denominador satisfaz \displaystyle x-5\to0^{-}
    e, como o expoente é ímpar, \displaystyle (x-5)^{3}\to0^{-}.

Passo 3

Portanto, a fração tem numerador positivo próximo de e^{5} e denominador negativo tendendo a zero. Isso faz
\frac{e^{x}}{(x-5)^{3}}\;\longrightarrow\;-\infty.

Resposta

-\infty

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