Exercício 16. Encontre cada limite a seguir, se existir. Caso contrário, explique por que ele não existe e, se for um limite infinito, diga de que tipo é.
\lim _{x \rightarrow \pi^{+}} \cot x

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to\pi^+}\cot x
ou seja, como \cot x=\frac{\cos x}{\sin x} se comporta quando x se aproxima de \pi pela direita. Vamos usar a expansão de seno e cosseno perto de \pi.

Passo 2

Escrevemos x=\pi+h com h>0 e h\to0. Então
\sin x = \sin(\pi+h) = -\sin h\approx -h,
\cos x = \cos(\pi+h) = -\cos h\approx -1.
Aqui usamos que, para h pequeno, \sin h\sim h e \cos h\sim1.

Passo 3

Substituindo em \cot x=\frac{\cos x}{\sin x} obtemos
\cot(\pi+h)\approx\frac{-1}{-h}=\frac1h.
Como h\to0^+, temos \tfrac1h\to+\infty.

Resposta

\lim_{x\to\pi^+}\cot x = +\infty,
isto é, diverge para mais infinito.

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