Exercício 16. Encontre cada limite a seguir, se existir. Caso contrário, explique por que ele não existe e, se for um limite infinito, diga de que tipo é.
\lim _{x \rightarrow 16} \frac{4-\sqrt{x}}{16 x-x^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to16}\frac{4-\sqrt{x}}{16x - x^2}
Note que, ao substituir x=16, o numerador fica 4-4=0 e o denominador fica 16\cdot16-16^2=0, formando uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos racionalizar o numerador.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador por 4+\sqrt{x}:
\frac{4-\sqrt{x}}{16x - x^2} = \frac{(4-\sqrt{x})(4+\sqrt{x})}{(16x - x^2)(4+\sqrt{x})} = \frac{16 - x}{(16x - x^2)(4+\sqrt{x})}.
Como
16x - x^2 = x\,(16 - x),
temos, para x\neq16,
\frac{16 - x}{(16x - x^2)(4+\sqrt{x})} = \frac{16 - x}{x\,(16 - x)\,(4+\sqrt{x})} = \frac{1}{x\,(4+\sqrt{x})}.

Passo 3

Agora a expressão está simplificada e contínua em x=16, então
\lim_{x\to16}\frac{1}{x\,(4+\sqrt{x})} = \frac{1}{16\,(4+4)} = \frac{1}{16\cdot8} = \frac{1}{128}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{128}

Exercícios relacionados