Exercício 16. Encontre cada limite a seguir, se existir. Caso contrário, explique por que ele não existe e, se for um limite infinito, diga de que tipo é.
\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{x \sqrt{1+x}}-\frac{1}{x}\right]

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to0}\Bigl[\frac{1}{x\sqrt{1+x}}-\frac{1}{x}\Bigr].
O conteúdo envolve forma indeterminada do tipo \tfrac{0}{0} e vamos usar manipulação algébrica (colocar em único quociente e racionalizar) para resolver.

Passo 2

Colocamos as parcelas sobre um denominador comum:
\frac{1}{x\sqrt{1+x}}-\frac{1}{x} =\frac{1-\sqrt{1+x}}{x\sqrt{1+x}}.

Passo 3

Racionalizamos o numerador multiplicando por 1+\sqrt{1+x} no numerador e denominador:
\frac{1-\sqrt{1+x}}{x\sqrt{1+x}}\cdot\frac{1+\sqrt{1+x}}{1+\sqrt{1+x}} =\frac{1-(1+x)}{x\sqrt{1+x}\,(1+\sqrt{1+x})} =\frac{-x}{x\sqrt{1+x}\,(1+\sqrt{1+x})}.

Passo 4

Cancelamos x (que é diferente de zero longe da origem) e, em seguida, aplicamos x\to0:
-\frac{x}{x\sqrt{1+x}\,(1+\sqrt{1+x})} =-\frac{1}{\sqrt{1+x}\,(1+\sqrt{1+x})} \longrightarrow -\frac{1}{1\cdot(1+1)}=-\frac{1}{2}.

Resposta

-\tfrac{1}{2}

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