Exercício 16. Encontre cada limite a seguir, se existir. Caso contrário, explique por que ele não existe e, se for um limite infinito, diga de que tipo é.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\operatorname{sen}(1-x)}{|1-x|}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to1}\frac{\operatorname{sen}(1-x)}{\lvert 1-x\rvert}
isso envolve limites laterais, uso da substituição para reconhecer a forma \frac{\operatorname{sen} h}{h} que converge para 1 e o estudo do sinal da função \frac{h}{\lvert h\rvert}.

Passo 2

Para simplificar, faça a mudança de variável
h = 1 - x,
de modo que x\to1 equivale a h\to0. A expressão torna-se
\frac{\operatorname{sen}(1-x)}{\lvert 1-x\rvert} =\frac{\operatorname{sen}(h)}{\lvert h\rvert} =\frac{\operatorname{sen}(h)}{h}\,\frac{h}{\lvert h\rvert}.

Passo 3

Sabemos pelo limite fundamental que
\lim_{h\to0}\frac{\operatorname{sen}(h)}{h}=1.
Já o fator \frac{h}{\lvert h\rvert}\) é a função sinal de \(h\), isto é, \[\frac{h}{\lvert h\rvert}= \begin{cases} 1,&h>0,\\\\ -1,&h<0. \end{cases}
Logo, analisando os limites laterais: \displaystyle\lim_{x\to1^-}\frac{\operatorname{sen}(1-x)}{\lvert1-x\rvert}\]: aqui \(x<1\Rightarrow h>0, então
\lim_{h\to0^+}\frac{\operatorname{sen}(h)}{h}\cdot1 =1\cdot1=1. \displaystyle\lim_{x\to1^+}\frac{\operatorname{sen}(1-x)}{\lvert1-x\rvert}: aqui x>1\Rightarrow h<0, então
\lim_{h\to0^-}\frac{\operatorname{sen}(h)}{h}\cdot(-1) =1\cdot(-1)=-1.

Passo 4

Como os limites laterais não coincidem (um é 1, o outro é -1), o limite geral em x=1 não existe.

Resposta

O limite não existe, pois \displaystyle\lim_{x\to1^-}\frac{\operatorname{sen}(1-x)}{\lvert1-x\rvert}=1
e \displaystyle\lim_{x\to1^+}\frac{\operatorname{sen}(1-x)}{\lvert1-x\rvert}=-1.

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