Exercício 16. Encontre cada limite a seguir, se existir. Caso contrário, explique por que ele não existe e, se for um limite infinito, diga de que tipo é.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1-3 x}{(x-1)^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede o limite \displaystyle \lim_{x\to1}\frac{1-3x}{(x-1)^{2}}.
Estamos lidando com uma função racional cujo numerador não zera em x=1 enquanto o denominador tem uma raiz de segunda ordem aí. Vamos ver se o limite existe e, em caso de divergência, determinar seu tipo.

Passo 2

Analisando o numerador: quando x\to1
1 - 3x \longrightarrow 1 - 3\cdot1 = -2,
um valor finito e negativo.
Analisando o denominador: como é (x-1)^{2}, temos sempre (x-1)^{2}\ge0 e, para x\to1, (x-1)^{2}\to0, aproximando-se de zero pela direita (ou seja, 0^+).

Passo 3

Já que o numerador tende a um negativo fixo -2 e o denominador tende a 0^+, a fração
\frac{1-3x}{(x-1)^{2}}
cresce em módulo sem limite e mantém sinal negativo. Portanto o limite não é finito, mas diverge para -\infty.

Resposta

\lim_{x\to1}\frac{1-3x}{(x-1)^{2}} = -\infty.

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