Exercício 16. Encontre cada limite a seguir, se existir. Caso contrário, explique por que ele não existe e, se for um limite infinito, diga de que tipo é.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x \operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x\sin x},
que envolve limites trigonométricos fundamentais. Para resolver, vamos usar a identidade de meia-ângulo e o limite
\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.

Passo 2

Reescrevemos o numerador usando a identidade
1-\cos x = 2\sin^2\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr).
Assim,
\frac{1-\cos x}{x\sin x} =\frac{2\sin^2\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{x\sin x} =\frac{2\sin^2\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{x\cdot2\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)} =\frac{\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{x\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}.
Agora escrevemos
\frac{\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{x} =\frac{1}{2}\,\frac{\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{\tfrac{x}{2}},
portanto
\frac{1-\cos x}{x\sin x} =\frac{1}{2}\,\frac{\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{\tfrac{x}{2}} \;\frac{1}{\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}.

Passo 3

Aplicando os limites conhecidos quando x\to0:
\frac{\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{\tfrac{x}{2}}\to1 \quad\text{e}\quad \cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\to1.
Logo,
\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x\sin x} =\frac{1}{2}\cdot1\cdot\frac{1}{1} =\tfrac{1}{2}.

Resposta

\tfrac{1}{2}

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