Exercício 16. Encontre cada limite a seguir, se existir. Caso contrário, explique por que ele não existe e, se for um limite infinito, diga de que tipo é.
\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{\left|x^{2}-5 x+4\right|}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite unilateral
\lim_{x \to 1^{+}} \frac{\lvert x^{2} - 5x + 4\rvert}{x-1}.
O conteúdo envolve limites de funções com valor absoluto e fatoração de polinômios.

Passo 2

Fatoramos o polinômio no numerador. Observamos que
x^{2} - 5x + 4 = (x-1)(x-4).
Logo a expressão fica
\frac{\lvert (x-1)(x-4)\rvert}{x-1}.

Passo 3

Para x \to 1^{+} temos x-1>0, portanto
\lvert x-1\rvert = x-1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\lvert (x-1)(x-4)\rvert}{x-1} = \frac{\lvert x-1\rvert\,\lvert x-4\rvert}{x-1} = \lvert x-4\rvert.
Além disso, como x está próximo de 1, x-4<0 e
\lvert x-4\rvert = 4 - x,
de modo que a expressão simplifica para 4 - x.

Passo 4

Basta agora calcular
\lim_{x \to 1^{+}} (4 - x) = 4 - 1 = 3.

Resposta

O limite existe e vale 3.

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