Exercício 16. Encontre cada limite a seguir, se existir. Caso contrário, explique por que ele não existe e, se for um limite infinito, diga de que tipo é.
\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x^{3}-x^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x^{3}-x^{2}}.
O conteúdo aqui é análise de limites unilaterais e limites infinitos. Vamos usar fato de que \operatorname{sen}(x)\sim x quando x\to0 e fatorar o denominador para identificar o comportamento dominante.

Passo 2

Observe o denominador e fatorize:
x^{3}-x^{2}=x^{2}(x-1).
Assim a expressão fica
\frac{\operatorname{sen}(x)}{x^{3}-x^{2}} =\frac{\operatorname{sen}(x)}{x^{2}(x-1)}.

Passo 3

Reescreva separando fatores que conhecemos bem:
\frac{\operatorname{sen}(x)}{x^{2}(x-1)} =\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\;\cdot\;\frac{1}{x}\;\cdot\;\frac{1}{x-1}.
Quando x\to0^{-}, temos \operatorname{sen}(x)/x\to1.

Passo 4

Analise cada fator para x\to0^{-}:
  1. \displaystyle\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\to1.
  2. \displaystyle\frac{1}{x}\to-\infty (pois x é negativo e tende a 0).
  3. \displaystyle\frac{1}{x-1}\to\frac{1}{-1}=-1.
    Multiplicando esses limites:
1 \times (-\infty)\times(-1)=+\infty.

Resposta

O limite não existe como número finito; ele diverge para +\infty. Portanto
\lim_{x\to0^{-}}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x^{3}-x^{2}}=+\infty.

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