Exercício 16. Encontre cada limite a seguir, se existir. Caso contrário, explique por que ele não existe e, se for um limite infinito, diga de que tipo é.
\lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{x^{2}-3 x}{x^{2}-6 x+9}

Passo 1

O enunciado pede o limite unilateral \lim_{x\to3^{-}}\frac{x^{2}-3x}{x^{2}-6x+9}.
Isso envolve fatorar polinômios, simplificar a expressão e estudar o comportamento quando x se aproxima de 3 pela esquerda, caracterizando uma possível assíntota vertical.

Passo 2

Vamos fatorar numerador e denominador:
x^{2}-3x = x(x-3), \qquad x^{2}-6x+9 = (x-3)^{2}.

Passo 3

Para x\neq3, a expressão simplifica-se a
\frac{x^{2}-3x}{x^{2}-6x+9} = \frac{x(x-3)}{(x-3)^{2}} = \frac{x}{x-3}.

Passo 4

Agora, ao aproximar x de 3 pela esquerda x<3, temos:
  • O numerador x tende a 3 (positivo).
  • O denominador x-3 tende a 0 por valores negativos (pois x-3<0).
    Logo \tfrac{x}{x-3} fica com sinal negativo e cresce em módulo sem limite.

Passo 5

Portanto
\lim_{x\to3^{-}}\frac{x}{x-3} = -\infty,
isto é, a função diverge para menos infinito, caracterizando uma assíntota vertical de tipo -\infty.

Resposta

\lim_{x\to3^{-}}\frac{x^{2}-3x}{x^{2}-6x+9} = -\infty.

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