Exercício 16. Encontre cada limite a seguir, se existir. Caso contrário, explique por que ele não existe e, se for um limite infinito, diga de que tipo é.
\lim _{x \rightarrow-2} \frac{2 x^{2}+5 x-3}{|x+2|}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to-2}\frac{2x^{2}+5x-3}{\lvert x+2\rvert}
que envolve análise de limite que pode ser infinito, pois o denominador tende a zero (através do valor absoluto) enquanto o numerador tende a um valor não nulo.

Passo 2

Calculamos o valor do numerador em x=-2:
2(-2)^{2}+5(-2)-3 = 2\cdot4 -10 -3 = 8 -10 -3 = -5.
Como esse resultado é diferente de zero, o numerador se aproxima de -5 quando x\to-2.

Passo 3

O denominador é \lvert x+2\rvert. Para x aproximando de -2, \lvert x+2\rvert é um número positivo muito pequeno (tende a 0^{+}). Portanto a fração comporta-se como
\frac{\text{numerador}\,\bigl(\approx -5\bigr)}{\text{denominador}\,\bigl(\approx 0^{+}\bigr)} \;\longrightarrow\; -\infty.

Passo 4

Concluímos que o limite não existe como número real, pois diverge para -\infty. Trata-se de um limite infinito do tipo negativo.

Resposta

\lim_{x\to-2}\frac{2x^{2}+5x-3}{\lvert x+2\rvert} = -\infty.

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