Exercício 16. Encontre cada limite a seguir, se existir. Caso contrário, explique por que ele não existe e, se for um limite infinito, diga de que tipo é.
\lim _{x \rightarrow 1} \cos \left(\frac{x-1}{x^{2}-1} \pi\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to1}\cos\Bigl(\frac{x-1}{x^2-1}\,\pi\Bigr).
O conteúdo é limite de função composta envolvendo trigonometria e usamos simplificação algébrica para estudar o comportamento do argumento interno.

Passo 2

Note que, para x\neq1, podemos fatorar o denominador:
x^2-1=(x-1)(x+1),
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\frac{x-1}{x^2-1} =\frac{x-1}{(x-1)(x+1)} =\frac{1}{x+1}.
Assim, para x próximo de 1 (mas x\neq1),
\cos\Bigl(\frac{x-1}{x^2-1}\,\pi\Bigr) =\cos\!\Bigl(\frac{\pi}{x+1}\Bigr).

Passo 3

Agora avaliamos o limite do argumento:
\lim_{x\to1}\frac{\pi}{x+1} =\frac{\pi}{1+1} =\frac{\pi}{2}.

Passo 4

Como a função \cos é contínua em todo ponto, podemos trocar limite e função:
\lim_{x\to1}\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi}{x+1}\Bigr) =\cos\Bigl(\lim_{x\to1}\tfrac{\pi}{x+1}\Bigr) =\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) =0.

Resposta

0

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