Exercício 17. Calcule os limites abaixo, justificando seus cálculos.
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{3}-3 x+1\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\bigl(x^{3}-3x+1\bigr).
O conteúdo aqui é limite no infinito de um polinômio. Vamos usar a ideia de que, quando x\to+\infty, o termo de maior grau domina o comportamento da expressão.

Passo 2

Em um polinômio, o termo de maior grau cresce muito mais rápido que os demais. Aqui o termo dominante é x^{3}, pois seu grau é o mais alto. Logo, heurísticamente, esperamos que \displaystyle x^{3}-3x+1\sim x^{3}
quando x\to+\infty.

Passo 3

Para justificar formalmente, fatoramos x^{3} da expressão:
x^{3}-3x+1 = x^{3}\Bigl(1 - \frac{3x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}\Bigr) = x^{3}\Bigl(1 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}\Bigr).
Agora analisamos o parêntese quando x\to+\infty:

Passo 4

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\Bigl(1 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}\Bigr) = 1 - 0 + 0 = 1.
Portanto, como \displaystyle x^{3}\to+\infty
e o fator dentro do parêntese tende a 1, o produto vai para +\infty.

Resposta

\displaystyle +\infty

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