Exercício 16. Encontre o valor exato de:
\cot \left(\frac{7 \pi}{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor exato de \cot\bigl(\tfrac{7\pi}{3}\bigr). O conteúdo envolvido é trigonometria: vamos usar a periodicidade da função cotangente e a definição \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}.

Passo 2

Como seno e cosseno têm período 2\pi, a cotangente também satisfaz
\cot\bigl(x+2\pi\bigr)=\cot x.
Logo,
\cot\!\Bigl(\tfrac{7\pi}{3}\Bigr) =\cot\!\Bigl(\tfrac{7\pi}{3}-2\pi\Bigr) =\cot\!\Bigl(\tfrac{7\pi}{3}-\tfrac{6\pi}{3}\Bigr) =\cot\!\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr).

Passo 3

Agora aplicamos a definição de cotangente:
\cot\!\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr) =\frac{\cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)}{\sin\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)}.

Passo 4

Sabemos que \cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac12 e \sin\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac{\sqrt3}{2}. Portanto,
\cot\!\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr) =\frac{\tfrac12}{\tfrac{\sqrt3}{2}} =\frac{1}{\sqrt3} =\frac{\sqrt3}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt3}{3}

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