Exercício 16. Encontre o valor exato de:
\csc \left(\frac{7 \pi}{6}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor exato de \csc\bigl(\tfrac{7\pi}{6}\bigr).
O conteúdo envolvido é função trigonométrica recíproca e uso do círculo unitário para determinar sinal e valor da função seno.

Passo 2

Lembrando que a cosecante é o recíproco do seno, temos
\csc\!\Bigl(\frac{7\pi}{6}\Bigr) =\frac{1}{\sin\!\bigl(\frac{7\pi}{6}\bigr)}.

Passo 3

Para calcular \sin\bigl(\tfrac{7\pi}{6}\bigr), note que
\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6},
ou seja, está no terceiro quadrante do círculo unitário, onde o seno é negativo. O ângulo de referência é \tfrac{\pi}{6}, cujo seno vale \tfrac12. Logo,
\sin\!\Bigl(\frac{7\pi}{6}\Bigr) =-\sin\!\Bigl(\frac{\pi}{6}\Bigr) =-\frac12.

Passo 4

Substituindo em \csc\bigl(\tfrac{7\pi}{6}\bigr)=1/\sin\bigl(\tfrac{7\pi}{6}\bigr), obtemos
\csc\!\Bigl(\frac{7\pi}{6}\Bigr) =\frac{1}{-\tfrac12} =-2.

Resposta

-2

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