Exercício 16. Encontre o valor exato de:
\tan \left(\frac{7 \pi}{6}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor exato de \tan\bigl(\tfrac{7\pi}{6}\bigr). O conteúdo aqui é trigonometria no círculo unitário: vamos identificar o quadrante, o ângulo de referência e usar as identidades de sinais.

Passo 2

Convertemos \tfrac{7\pi}{6} em graus para visualizar melhor:
\tfrac{7\pi}{6} = 7\times30^\circ = 210^\circ.
Esse ângulo fica no terceiro quadrante, onde seno e cosseno são negativos, mas a tangente (seno sobre cosseno) é positiva.

Passo 3

O ângulo de referência mede a diferença entre 210\circ e 180\circ:
210^\circ - 180^\circ = 30^\circ,
ou seja, em radianos \pi/6. Usamos a identidade
\tan\bigl(\pi + \alpha\bigr)=\tan(\alpha),
portanto
\tan\bigl(\tfrac{7\pi}{6}\bigr)=\tan\bigl(\pi+\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tan\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr).

Passo 4

Sabemos do triângulo de 30\circ 60\circ 90\circ que
\tan\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\frac{1}{\sqrt{3}}.
E, como já concluímos, nesse quadrante o sinal é positivo.

Passo 5

Para obter a forma mais comum, racionalizamos o denominador:
\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.

Resposta

\tan\bigl(\tfrac{7\pi}{6}\bigr)=\frac{\sqrt{3}}{3}.

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