Sejam vecu, vecv e vecw vetores em E^3. Mostre que:
vecu+vecv=vecv+vecu

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em E^3, a soma de vetores é comutativa, ou seja,
u + v = v + u
Para isso vamos usar a definição de soma vetorial em coordenadas e a propriedade comutativa da soma em R.

Passo 2

Escrevemos cada vetor pelas suas coordenadas:
u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3)
Por definição, a soma desses vetores é feita componente a componente.

Passo 3

Pela definição de soma em E^3, temos
u + v = (,u1 + v1,;u2 + v2,;u3 + v3,)
e
v + u = (,v1 + u1,;v2 + u2,;v3 + u3,)

Passo 4

Como a soma de números reais é comutativa, isto é, para cada i=1,2,3 vale
ui + vi = vi + ui,
segue que cada componente de u + v coincide com a correspondente de v + u. Logo os vetores são iguais.

Resposta

u + v = v + u

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