Exercício 16. Peças produzidas por uma máquina são classificadas como defeituosas, recuperáveis ou perfeitas com probabilidade de 0, 1 ; 0,2 e 0,7 ; respectivamente. De um grande lote, foram sorteadas duas peças com reposição. Calcule:
a) P (duas serem defeituosas).
b) P (pelo menos uma ser perfeita).
c) P (uma ser recuperável e uma perfeita).
d) Indique as suposições utilizadas para resolver os itens anteriores. E se o sorteio for sem reposição?

Passo 1

O enunciado diz que cada peça é classificada em defeituosa, recuperável ou perfeita, com probabilidades
P(defeituosa)=0,1, P(recuperável)=0,2, P(perfeita)=0,7 á
e que extraímos duas peças com reposição. Como há reposição, cada sorteio é independente e as probabilidades não mudam de um sorteio para o outro.

Passo 2

(a) Para as duas serem defeituosas, basta multiplicar P(defeituosa) em cada sorteio, ou seja
P(D,D) = 0,1 times 0,1 = 0,01

Passo 3

(b) “Pelo menos uma perfeita” é o complemento de “nenhuma perfeita”. A probabilidade de não sair perfeita em um sorteio é
1 - 0,7 = 0,3,
logo em dois sorteios independentes
P(nenhuma perfeita) = 0,3 times 0,3 = 0,09,
e então
P(pelo menos uma perfeita) = 1 - 0,09 = 0,91

Passo 4

(c) Para sair exatamente uma recuperável e uma perfeita, podemos ter (R no 1º, P no 2º) ou (P no 1º, R no 2º). Usando independência,
P(R,P) = 0,2 times 0,7 = 0,14,
P(P,R) = 0,7 times 0,2 = 0,14,
então
P(uma R e uma P) = 0,14 + 0,14 = 0,28

Passo 5

(d) As suposições usadas até aqui são:
  1. Amostras com reposição, de modo que cada sorteio é independente.
  2. Probabilidades constantes em cada sorteio.
Se o sorteio fosse sem reposição, os eventos deixariam de ser independentes e as probabilidades mudariam no segundo sorteio. Nesse caso usaríamos a distribuição hipergeométrica: supondo um lote finito de N peças, com ND defeituosas, NR recuperáveis e NP perfeitas, teríamos por exemplo
P(2 defeituosas)=binomND2binomN2,
P(pelo menos 1 perfeita)=1-binomN-NP2binomN2,
P(1 R e 1 P)=2,NR,NPN,(N-1)

Resposta

(a) 0,01
(b) 0,91
(c) 0,28
(d) Supondo amostras com reposição (eventos independentes e probabilidades constantes). Sem reposição usa-se hipergeométrica, pois as probabilidades passam a depender do que já foi extraído.

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