Questão 4 (2 pts): Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
na ra região
do plano
.
Passo 1
O enunciado pede os valores máximo e mínimo absolutos de
no disco unitário. Vou listar claramente o que é pedido e o que já temos:
- Função dada:
- Região dada:
isto é, o disco fechado de raio
centrado na origem.
Perguntas explícitas:
- Qual é o valor do máximo absoluto de
em e em quais pontos é atingido? - Qual é o valor do mínimo absoluto de
em e em quais pontos é atingido?
Informações relevantes fornecidas:
-
é contínua (é um polinómio dividido por ), e é compacto (conjunto fechado e limitado). Logo, pelo Teorema do Valor Extremo, atinge máximo e mínimo absolutos em . - Para encontrar esses extremos em uma região com fronteira, precisamos:
- procurar pontos críticos no interior de
(onde o gradiente é nulo ou não existe); - procurar extremos na fronteira
(por ex.: parametrizando a fronteira ou usando multiplicadores de Lagrange); - comparar os valores obtidos e escolher maior e menor.
- procurar pontos críticos no interior de
Passo 2
Procurar pontos críticos no interior de
. Primeiro, explico o que é ponto crítico: é um ponto onde todas as derivadas parciais existem e o gradiente é o vetor nulo, isto é,
. O gradiente reúne as derivadas parciais em cada direção coordenada.
Calculemos as derivadas parciais de
. Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Um ponto crítico interno satisfaz
Substituindo:
Portanto há um único ponto crítico no interior do disco:
.
Passo 3
Avaliar
no ponto crítico interno e interpretar. Calcule:
Explicação curta: esse é um candidato a máximo ou mínimo local, mas para saber se é máximo absoluto precisamos comparar com valores na fronteira (e possivelmente outros pontos interiores, mas já verificamos que não há outros pontos críticos).
Passo 4
Agora tratamos a fronteira
. Vou usar parametrização da circunferência porque é simples e direta: representar pontos da fronteira por
Essa parametrização percorre toda a fronteira uma vez.
Substituindo na função obtemos uma função de uma variável
:
Procuramos os pontos
onde
atinge máximo/minimo no intervalo
. Para isso, calculamos
e achamos seus zeros (além de checar extremos em pontos onde a derivada não exista, mas aqui
é suave).
Passo 5
Calcular
. Vou derivar passo a passo e explicar as regras empregadas: derivada de
é
(regra da cadeia) e derivada de
é
. Assim:
Factorizando
:
Para achar candidatos a extremos na fronteira, resolvemos
, o que dá três possibilidades:
Passo 6
Resolver cada caso e encontrar os pontos correspondentes na circunferência.
-
ou (no intervalo ). Correspondem a pontos:
-
ou . Correspondem a pontos:
-
. Existem dois valores de no intervalo , correspondendo aos dois pontos simétricos:
Ou seja, pontos:
e
.
Assim temos os candidatos na fronteira:
. Juntando com o candidato interior
, vamos avaliar
em todos eles.
Passo 7
Avaliar
em cada ponto candidato (faço contas detalhadas):
- Em
:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
- Em
: primeiro calculemos e .
Então
Como fração exata,
. Em forma decimal aproximada, isso é cerca de
.
- Já calculamos o ponto interior
no Passo 3: .
Passo 8
Comparar os valores obtidos para decidir máximo e mínimo absolutos.
Valores listados:
O maior valor entre esses é
(ocorre em
). O menor valor entre esses é
(ocorre em
,
e
), porque
.
Como já avaliamos todos os candidatos (único ponto crítico interior e todos os pontos críticos da fronteira), concluímos que estes são, respectivamente, o máximo e o mínimo absolutos de
em
.
Resposta
Máximo absoluto:
, atingido em
.
Mínimo absoluto:
, atingido em
,
e
.