Questão 4 (2 pts): Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f(x, y)=\frac{x^{3}-y^{2}}{2} na ra região \mathrm{D}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+y^{2} \leq 1\right\} do plano x y.

Passo 1

O enunciado pede os valores máximo e mínimo absolutos de f no disco unitário. Vou listar claramente o que é pedido e o que já temos:
  • Função dada:
f(x,y)=\frac{x^{3}-y^{2}}{2}.
  • Região dada:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\\ ;\\ x^{2}+y^{2}\le 1\},
isto é, o disco fechado de raio 1 centrado na origem.
Perguntas explícitas:
  • Qual é o valor do máximo absoluto de f em D e em quais pontos é atingido?
  • Qual é o valor do mínimo absoluto de f em D e em quais pontos é atingido?
Informações relevantes fornecidas:
  • f é contínua (é um polinómio dividido por 2), e D é compacto (conjunto fechado e limitado). Logo, pelo Teorema do Valor Extremo, f atinge máximo e mínimo absolutos em D.
  • Para encontrar esses extremos em uma região com fronteira, precisamos:
    1. procurar pontos críticos no interior de D (onde o gradiente é nulo ou não existe);
    2. procurar extremos na fronteira x^{2}+y^{2}=1 (por ex.: parametrizando a fronteira ou usando multiplicadores de Lagrange);
    3. comparar os valores obtidos e escolher maior e menor.

Passo 2

Procurar pontos críticos no interior de D. Primeiro, explico o que é ponto crítico: é um ponto onde todas as derivadas parciais existem e o gradiente é o vetor nulo, isto é, \nabla f(x,y)=(0,0). O gradiente reúne as derivadas parciais em cada direção coordenada.
Calculemos as derivadas parciais de f. Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{3}}{2}\right)=\frac{3x^{2}}{2}.
Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{d}{dy}\left(-\frac{y^{2}}{2}\right)=-y.
Um ponto crítico interno satisfaz
\frac{\partial f}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=0.
Substituindo:
\frac{3x^{2}}{2}=0\quad\Rightarrow\quad x=0,
-y=0\quad\Rightarrow\quad y=0.
Portanto há um único ponto crítico no interior do disco: (0,0).

Passo 3

Avaliar f no ponto crítico interno e interpretar. Calcule:
f(0,0)=\frac{0^{3}-0^{2}}{2}=0.
Explicação curta: esse é um candidato a máximo ou mínimo local, mas para saber se é máximo absoluto precisamos comparar com valores na fronteira (e possivelmente outros pontos interiores, mas já verificamos que não há outros pontos críticos).

Passo 4

Agora tratamos a fronteira x^{2}+y^{2}=1. Vou usar parametrização da circunferência porque é simples e direta: representar pontos da fronteira por
x=\cos t,\qquad y=\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).
Essa parametrização percorre toda a fronteira uma vez.
Substituindo na função obtemos uma função de uma variável t:
g(t)=f(\cos t,\sin t)=\frac{\cos^{3}t-\sin^{2}t}{2}.
Procuramos os pontos t onde g atinge máximo/minimo no intervalo [0,2\pi). Para isso, calculamos g'(t) e achamos seus zeros (além de checar extremos em pontos onde a derivada não exista, mas aqui g é suave).

Passo 5

Calcular g'(t). Vou derivar passo a passo e explicar as regras empregadas: derivada de \cos^{3}t é 3\cos^{2}t\cdot(-\sin t) (regra da cadeia) e derivada de \sin^{2}t é 2\sin t\cos t. Assim:
g'(t)=\frac{1}{2}\big(-3\cos^{2}t\sin t - 2\sin t\cos t\big).
Factorizando -\sin t\cos t:
g'(t)=\frac{-\sin t\cos t}{2}\big(3\cos t + 2\big).
Para achar candidatos a extremos na fronteira, resolvemos g'(t)=0, o que dá três possibilidades:
\sin t=0,\qquad \cos t=0,\qquad 3\cos t+2=0.

Passo 6

Resolver cada caso e encontrar os pontos correspondentes na circunferência.
  1. \sin t=0 \Rightarrow t=0 ou t=\pi (no intervalo [0,2\pi)). Correspondem a pontos:
t=0:\\ (x,y)=(\cos 0,\sin 0)=(1,0).
t=\pi:\\ (x,y)=(\cos\pi,\sin\pi)=(-1,0).
  1. \cos t=0 \Rightarrow t=\tfrac{\pi}{2} ou t=\tfrac{3\pi}{2}. Correspondem a pontos:
t=\tfrac{\pi}{2}:\\ (x,y)=(0,1).
t=\tfrac{3\pi}{2}:\\ (x,y)=(0,-1).
  1. 3\cos t+2=0 \Rightarrow \cos t=-\tfrac{2}{3}. Existem dois valores de t no intervalo [0,2\pi), correspondendo aos dois pontos simétricos:
x=\cos t=-\frac{2}{3},\qquad y=\pm\sqrt{1-\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\pm\frac{\sqrt{5}}{3}.
Ou seja, pontos: \left(-\tfrac{2}{3},\,\tfrac{\sqrt{5}}{3}\right) e \left(-\tfrac{2}{3},\, -\tfrac{\sqrt{5}}{3}\right).
Assim temos os candidatos na fronteira: (1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1),\left(-\tfrac{2}{3},\pm\tfrac{\sqrt{5}}{3}\right). Juntando com o candidato interior (0,0), vamos avaliar f em todos eles.

Passo 7

Avaliar f em cada ponto candidato (faço contas detalhadas):
  1. Em (1,0):
f(1,0)=\frac{1^{3}-0^{2}}{2}=\frac{1}{2}.
  1. Em (-1,0):
f(-1,0)=\frac{(-1)^{3}-0^{2}}{2}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}.
  1. Em (0,1):
f(0,1)=\frac{0^{3}-1^{2}}{2}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}.
  1. Em (0,-1):
f(0,-1)=\frac{0^{3}-(-1)^{2}}{2}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}.
  1. Em \left(-\tfrac{2}{3},\pm\tfrac{\sqrt{5}}{3}\right): primeiro calculemos x^{3} e y^{2}.
x^{3}=\left(-\frac{2}{3}\right)^{3}=-\frac{8}{27}, \qquad y^{2}=\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^{2}=\frac{5}{9}.
Então
f\!\left(-\tfrac{2}{3},\pm\tfrac{\sqrt{5}}{3}\right) =\frac{-\tfrac{8}{27}-\tfrac{5}{9}}{2} =\frac{-\tfrac{8}{27}-\tfrac{15}{27}}{2} =\frac{-\tfrac{23}{27}}{2} =-\frac{23}{54}.
Como fração exata, -\tfrac{23}{54}. Em forma decimal aproximada, isso é cerca de -0,4259\ldots.
  1. Já calculamos o ponto interior (0,0) no Passo 3: f(0,0)=0.

Passo 8

Comparar os valores obtidos para decidir máximo e mínimo absolutos.
Valores listados:
f(1,0)=\tfrac{1}{2}=0{,}5,
f(-1,0)=f(0,1)=f(0,-1)=-\tfrac{1}{2}=-0{,}5,
f\!\left(-\tfrac{2}{3},\pm\tfrac{\sqrt{5}}{3}\right)=-\tfrac{23}{54}\approx -0{,}4259,
f(0,0)=0.
O maior valor entre esses é \tfrac{1}{2} (ocorre em (1,0)). O menor valor entre esses é -\tfrac{1}{2} (ocorre em (-1,0), (0,1) e (0,-1)), porque -\tfrac{1}{2}<-\tfrac{23}{54}.
Como já avaliamos todos os candidatos (único ponto crítico interior e todos os pontos críticos da fronteira), concluímos que estes são, respectivamente, o máximo e o mínimo absolutos de f em D.

Resposta

Máximo absoluto: \dfrac{1}{2}, atingido em (1,0).
Mínimo absoluto: -\dfrac{1}{2}, atingido em (-1,0), (0,1) e (0,-1).

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