Exercício 16. Resolva a equação matricial dada para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação matricial onde temos uma matriz A multiplicada por uma matriz desconhecida X igualando a uma matriz B . A equação é:
[ccc 1 & -1 & 1 2 & 3 & 0 0 & 2 & -1 ] X = [ccccc 2 & -1 & 5 & 7 & 8 4 & 0 & -3 & 0 & 1 3 & 5 & -7 & 2 & 1 ]
Vamos precisar usar o conceito de matriz inversa para isolar o X e encontrar sua solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz A e a matriz B :
A = [ccc 1 & -1 & 1 2 & 3 & 0 0 & 2 & -1 ], B = [ccccc 2 & -1 & 5 & 7 & 8 4 & 0 & -3 & 0 & 1 3 & 5 & -7 & 2 & 1 ]
Nossa meta é encontrar X .

Passo 3

Para resolver a equação A X = B , precisamos encontrar a inversa de A , desde que ela exista. A fórmula para isolar X é:
X = A^-1 B
Então, vamos calcular A^-1 .

Passo 4

Antes de calcular a inversa, precisamos verificar se A é invertível. Para isso, calculamos o determinante de A .
det(A) = 1 times (3 times (-1) - 0 times 2) - (-1) times (2 times (-1) - 0 times 0) + 1 times (2 times 2 - 3 times 0)
det(A) = 1 times (-3) + 1 times 2 + 1 times 4 = -3 + 2 + 4 = 3
Como o determinante é diferente de zero ( det(A) = 3 ), a matriz A é invertível.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de A . Para isso, calculamos os cofatores de cada elemento de A .
Os cofatores são dados por:
Cij = (-1)^i+j times det(Mij)
onde Mij é a matriz resultante ao remover a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A .
Vamos calcular cada cofator:
  • Cofator C11 :
M11 = [cc 3 & 0 2 & -1 ], det(M11) = 3 times (-1) - 0 times 2 = -3
C11 = (-1)^1+1 times (-3) = 1 times (-3) = -3
  • Cofator C12 :
M12 = [cc 2 & 0 0 & -1 ], det(M12) = 2 times (-1) - 0 times 0 = -2
C12 = (-1)^1+2 times (-2) = -1 times (-2) = 2
  • Cofator C13 :
M13 = [cc 2 & 3 0 & 2 ], det(M13) = 2 times 2 - 3 times 0 = 4
C13 = (-1)^1+3 times 4 = 1 times 4 = 4
  • Cofator C21 :
M21 = [cc -1 & 1 2 & -1 ], det(M21) = (-1) times (-1) - 1 times 2 = 1 - 2 = -1
C21 = (-1)^2+1 times (-1) = -1 times (-1) = 1
  • Cofator C22 :
M22 = [cc 1 & 1 0 & -1 ], det(M22) = 1 times (-1) - 1 times 0 = -1
C22 = (-1)^2+2 times (-1) = 1 times (-1) = -1
  • Cofator C23 :
M23 = [cc 1 & -1 0 & 2 ], det(M23) = 1 times 2 - (-1) times 0 = 2
C23 = (-1)^2+3 times 2 = -1 times 2 = -2
  • Cofator C31 :
M31 = [cc -1 & 1 3 & 0 ], det(M31) = (-1) times 0 - 1 times 3 = 0 - 3 = -3
C31 = (-1)^3+1 times (-3) = 1 times (-3) = -3
  • Cofator C32 :
M32 = [cc 1 & 1 2 & 0 ], det(M32) = 1 times 0 - 1 times 2 = 0 - 2 = -2
C32 = (-1)^3+2 times (-2) = -1 times (-2) = 2
  • Cofator C33 :
M33 = [cc 1 & -1 2 & 3 ], det(M33) = 1 times 3 - (-1) times 2 = 3 + 2 = 5
C33 = (-1)^3+3 times 5 = 1 times 5 = 5

Passo 6

Agora, montamos a matriz dos cofatores:
Cof(A) = [ccc -3 & 2 & 4 1 & -1 & -2 -3 & 2 & 5 ]
Em seguida, tiramos a transposta dessa matriz para obter a adjunta de A :
adj(A) = [ccc -3 & 1 & -3 2 & -1 & 2 4 & -2 & 5 ]

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da inversa:
A^-1 = 1det(A) times adj(A)
Sabemos que det(A) = 3 , então:
A^-1 = 13 times [ccc -3 & 1 & -3 2 & -1 & 2 4 & -2 & 5 ] = [ccc -1 & 13 & -1 23 & -13 & 23 43 & -23 & 53 ]

Passo 8

Com A^-1 em mãos, agora multiplicamos A^-1 pela matriz B para encontrar X :
X = A^-1 B
Vamos realizar essa multiplicação passo a passo.

Passo 9

Multiplicando A^-1 pela primeira coluna de B :
X11 &= (-1) times 2 + 13 times 4 + (-1) times 3 = -2 + 43 - 3 = -5 + 43 = -113 X21 &= 23 times 2 + (-13) times 4 + 23 times 3 = 43 - 43 + 2 = 2 X31 &= 43 times 2 + (-23) times 4 + 53 times 3 = 83 - 83 + 5 = 5
Fazemos o mesmo para as demais colunas de B .

Passo 10

Calculando para todas as colunas:
X = [ccccc -113 & & & & 2 & & & & 5 & & & & ]
Realizando todos os cálculos, obtemos:
X = [ccccc -113 & 13 & 23 & -13 & -53 2 & 23 & 43 & 23 & 13 5 & -13 & 113 & 73 & 83 ]

Resposta

A matriz X que resolve a equação matricial é:
X = [ccccc -dfrac113 & dfrac13 & dfrac23 & -dfrac13 & -dfrac53 2 & dfrac23 & dfrac43 & dfrac23 & dfrac13 5 & -dfrac13 & dfrac113 & dfrac73 & dfrac83 ]

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