Exercício 16. Resolva a equação matricial dada para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação matricial onde temos uma matriz
A multiplicada por uma matriz desconhecida
X igualando a uma matriz
B . A equação é:
Vamos precisar usar o conceito de matriz inversa para isolar o
X e encontrar sua solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz
A e a matriz
B :
Nossa meta é encontrar
X .
Passo 3
Para resolver a equação
A X = B , precisamos encontrar a inversa de
A , desde que ela exista. A fórmula para isolar
X é:
Então, vamos calcular
A^-1 .
Passo 4
Antes de calcular a inversa, precisamos verificar se
A é invertível. Para isso, calculamos o determinante de
A .
Como o determinante é diferente de zero (
det(A) = 3 ), a matriz
A é invertível.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de
A . Para isso, calculamos os cofatores de cada elemento de
A .
Os cofatores são dados por:
onde
Mij é a matriz resultante ao remover a i-ésima linha e a j-ésima coluna de
A .
Vamos calcular cada cofator:
- Cofator
:C11
- Cofator
:C12
- Cofator
:C13
- Cofator
:C21
- Cofator
:C22
- Cofator
:C23
- Cofator
:C31
- Cofator
:C32
- Cofator
:C33
Passo 6
Agora, montamos a matriz dos cofatores:
Em seguida, tiramos a transposta dessa matriz para obter a adjunta de
A :
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula da inversa:
Sabemos que
det(A) = 3 , então:
Passo 8
Com
A^-1 em mãos, agora multiplicamos
A^-1 pela matriz
B para encontrar
X :
Vamos realizar essa multiplicação passo a passo.
Passo 9
Multiplicando
A^-1 pela primeira coluna de
B :
Fazemos o mesmo para as demais colunas de
B .
Passo 10
Calculando para todas as colunas:
Realizando todos os cálculos, obtemos:
Resposta
A matriz
X que resolve a equação matricial é: