Se a matriz A de tamanho n times n pode ser expressa como A=L U, em que L é uma matriz triangular inferior e U é uma matriz triangular superior, então o sistema A x=b pode ser expresso como L U x=b e pode ser, portanto, resolvido em dois passos, como segue. Passo 1. Seja U x=y, de modo que L U x=b pode ser escrito como L y=b. Resolva este sistema.
Passo 2. Resolva o sistema U x=y em x.
Em cada item, use este método de dois passos para resolver o sistema dado.
(a) [rrr1 & 0 & 0 -2 & 3 & 0 2 & 4 & 1][rrr2 & -1 & 3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 4][lx1 x2 x3]=[r1 -2 0]

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem um sistema de equações representado pela matriz A que pode ser decomposta em duas matrizes triangulares: L (inferior) e U (superior). Nosso objetivo é resolver o sistema A x = b usando esse método de duas etapas.
Primeiro, vamos definir U x = y . Assim, o sistema original fica L y = b . Então, o primeiro passo é resolver esse sistema triangular inferior para encontrar y .
Vamos lá:
A matriz L e o vetor b são dados por:
L = 1 & 0 & 0 -2 & 3 & 0 2 & 4 & 1 , b = 1 -2 0
Então, o sistema L y = b fica:
1 cdot y1 + 0 cdot y2 + 0 cdot y3 = 1 -2 cdot y1 + 3 cdot y2 + 0 cdot y3 = -2 2 cdot y1 + 4 cdot y2 + 1 cdot y3 = 0
Vamos resolver uma equação de cada vez:
  1. Primeira equação:
y1 = 1
  1. Segunda equação:
-2(1) + 3y2 = -2 -2 + 3y2 = -2 3y2 = 0 y2 = 0
  1. Terceira equação:
2(1) + 4(0) + y3 = 0 2 + y3 = 0 y3 = -2
Então, encontramos:
y = 1 0 -2

Passo 2

Agora que temos [\vec{y}), vamos resolver o segundo sistema: .
A matriz e o vetor são:
Vamos escrever o sistema:
Como (U] é triangular superior, começamos de baixo para cima:
  1. Terceira equação:
  1. Segunda equação:
  1. Primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é:
x = 1.75 1 -0.5

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