• Exercício 18: Resolva o sistema linear 3 times 3 abaixo utilizando o método de Gauss-Seidel (com 3 iterações):
2 x+y+10 z=11
x+10 y+2 z=10
10 x+2 y+z=9
  • Verifique a convergência do método para este sistema.
  • A condição iniciais [0, 0, 0].

Passo 1

O enunciado pede para resolver por Gauss–Seidel o sistema
2x + y + 10z = 11, x + 10y + 2z = 10, 10x + 2y + z = 9,
com aproximação inicial (x^(0),y^(0),z^(0))=(0,0,0) e 3 iterações. Para verificar convergência, basta checar se a matriz é estritamente diagonalmente dominante ou calcular o raio espectral da matriz de iteração.

Passo 2

Escrevemos as fórmulas de atualização de Gauss–Seidel (usando já os últimos valores disponíveis):
x^(k+1)=11 - y^(k) - 10,z^(k)2,
y^(k+1)=10 - x^(k+1) - 2,z^(k)10,
z^(k+1)=9 - 10,x^(k+1) - 2,y^(k+1)

Passo 3

Iteração 1, a partir de (0,0,0):
x^(1)=11-0-10cdot02=5.5, y^(1)=10-5.5-2cdot010=0.45, z^(1)=9-10cdot5.5-2cdot0.45=-46.9

Passo 4

Iteração 2, usando (x^(1),y^(1),z^(1)):
x^(2)=11-0.45-10cdot(-46.9)2=239.775,
y^(2)=10-239.775-2cdot(-46.9)10=-13.5975,
z^(2)=9-10cdot239.775-2cdot(-13.5975)=-2361.555

Passo 5

Iteração 3, usando (x^(2),y^(2),z^(2)):
x^(3)=11-(-13.5975)-10cdot(-2361.555)2=11820.07375,
y^(3)=10-11820.07375-2cdot(-2361.555)10=-709.696375,
z^(3)=9-10cdot11820.07375-2cdot(-709.696375)=-116772.34475

Passo 6

Para convergência pelo critério de diagonalmente dominante, cada linha deve ter
|aii|>sumjneq i|aij|
Aqui:
|2| not> |1|+|10|, |1| not> |10|+|2|,
logo não há dominância em duas equações. Além disso, as iterações crescem em módulo. Portanto o método não converge para este sistema.

Resposta

Iteração 1: (5.5,;0.45,;-46.9)
Iteração 2: (239.775,;-13.5975,;-2361.555)
Iteração 3: (11820.07375,;-709.696375,;-116772.34475)
O método de Gauss–Seidel não converge neste sistema (não há dominância diagonal e os valores divergem).

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