Exercício 3.16 São dadas funções relacionadas com funçōes trigonométricas inversas. Calcule a derivada de:
f(x)=\operatorname{arccos} ^{2}(\cos (x)), 0<x<\pi

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \bigl(\operatorname{arccos}(\cos x)\bigr)^{2},
no intervalo 0 < x < \pi. O conteúdo envolvido é a composição de funções trigonométricas e suas inversas, mais a regra da cadeia para derivação.

Passo 2

Vale o fato de que, para x em [0,\pi], a função \cos é bijetora de [0,\pi] em [-1,1] e \operatorname{arccos} é sua inversa neste domínio. Logo, para 0<x<\pi,
\operatorname{arccos}(\cos x) = x.

Passo 3

Com isso,
f(x) = x^{2}.
Aplicando a derivada de x^{2} pelo regra básica,
f'(x) = 2x.

Resposta

f'(x)=2x

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