Exercício 3.16 São dadas funções relacionadas com funçōes trigonométricas inversas. Calcule a derivada de:
Passo 1
O enunciado pede a derivada de
para
. Aqui
é a função inversa da cossecante (às vezes chamada de arccosecante), e vamos usar diferenciação implícita e algumas identidades trigonométricas para achar
.
Passo 2
Defina
Pela definição de função inversa, isso significa
Passo 3
Diferencie implicitamente em relação a
. Como
tem derivada
, obtemos
Logo
Passo 4
Agora expresse
e
em função de
. Da relação
segue imediatamente
. Para
, use
(Substituímos o sinal positivo porque, para
, o ângulo
pertence a
.)
Passo 5
Substituindo em
, tem-se