Exercício 3.16 São dadas funções relacionadas com funçōes trigonométricas inversas. Calcule a derivada de:
f(x)=\operatorname{arccossec}(x), x \geq 1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{arccossec}(x),
para x\ge1. Aqui \operatorname{arccossec}(x) é a função inversa da cossecante (às vezes chamada de arccosecante), e vamos usar diferenciação implícita e algumas identidades trigonométricas para achar f'(x).

Passo 2

Defina
y = f(x) = \operatorname{arccossec}(x).
Pela definição de função inversa, isso significa
\csc(y) = x.

Passo 3

Diferencie implicitamente em relação a x. Como \csc(y) tem derivada -\csc(y)\cot(y)\,\frac{dy}{dx}, obtemos
-\csc(y)\,\cot(y)\,\frac{dy}{dx} = 1.
Logo
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc(y)\,\cot(y)}.

Passo 4

Agora expresse \csc(y) e \cot(y) em função de x. Da relação \csc(y)=x segue imediatamente \csc(y)=x. Para \cot(y), use
\cot(y)=\sqrt{\csc^2(y)-1} = \sqrt{x^2-1}.
(Substituímos o sinal positivo porque, para x\ge1, o ângulo y pertence a (0,\tfrac{\pi}{2}].)

Passo 5

Substituindo em \displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc(y)\,\cot(y)}, tem-se
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x\;\sqrt{x^2-1}}.

Resposta

f'(x) = -\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}},\quad x\ge1.

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