Exercício 3.18 São dadas funçōes relacionadas com funções exponenciais e logarítmicas. Calcule a derivada de:
f(x)=\log _{2}(|x|), x \neq 0

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\log_{2}\bigl(|x|\bigr), \quad x\neq 0.
O conteúdo aqui é diferenciação de funções logarítmicas e uso da regra da cadeia, além da derivada de \lvert x\rvert.

Passo 2

Usamos a mudança de base para logaritmos:
\log_{2}\bigl(|x|\bigr) =\frac{\ln\bigl(|x|\bigr)}{\ln(2)}.

Passo 3

Agora derivamos em relação a x. Como \ln(2) é constante,
f'(x) =\frac{1}{\ln(2)}\;\frac{d}{dx}\bigl[\ln\bigl(|x|\bigr)\bigr].
Para \ln\bigl(|x|\bigr) aplicamos a regra da cadeia: primeiro \frac{d}{du}\ln(u)=1/u com u=|x|, depois \frac{d}{dx}|x|=x/|x|. Logo,
\frac{d}{dx}\ln\bigl(|x|\bigr) =\frac{1}{|x|}\,\frac{x}{|x|} =\frac{x}{|x|^{2}} =\frac{1}{x}.

Passo 4

Substituindo na expressão de f'(x):
f'(x) =\frac{1}{\ln(2)}\cdot\frac{1}{x} =\frac{1}{x\,\ln(2)}.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{x\,\ln(2)},\quad x\neq 0.

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