Exercicio 18. Para que valores do número
é contínua em

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y,z)= dfrac(x+y+z)^rx^2+y^2+z^2,& (x,y,z)neq(0,0,0),[6pt] 0,&(x,y,z)=(0,0,0),
e pergunta para quais valores de r ela é contínua em R^3. Como só há questão de continuidade no ponto (0,0,0), vamos analisar o limite
lim(x,y,z)to(0,0,0)f(x,y,z) e ver quando ele vale zero, igual ao valor dado em (0,0,0).]

Passo 2

Para mostrar que lim(x,y,z)to(0,0,0)f(x,y,z)=0 sempre que r>2, note que
|x+y+z|<=|x|+|y|+|z|<=raiz3raizx^2+y^2+z^2
Logo, se rho=raizx^2+y^2+z^2, temos
l|f(x,y,z)r| =|x+y+z|^rx^2+y^2+z^2 <=l(raiz3,rhor)^rrho^2 =(raiz3)^r,rho^,r-2
Se r>2, então rho^,r-2to0 quando rhoto0, de modo que l|f(x,y,z)r|to0. Assim o limite existe e vale 0.

Passo 3

Agora mostramos que para r<=2 a função não pode ser contínua em (0,0,0). Escolha a reta x=y=z. Ao longo dessa reta, escreva x=y=z=t, de modo que
f(t,t,t) =(3t)^r3t^2 =3^,r-1,t^,r-2
Se r<2, então t^,r-2toinfty quando tto0, o que faz l|f(t,t,t)r|toinfty. Se r=2, então f(t,t,t)=3^1 para todo tneq0, e o limite vale 3neq0. Em ambos os casos o limite não coincide com f(0,0,0)=0.

Passo 4

Concluímos que a única forma de
lim(x,y,z)to(0,0,0)f(x,y,z)=0
é ter r>2. Portanto, para esses valores de r a função é contínua em todo R^3.

Resposta

A função f é contínua em R^3 se, e somente se, r>2.

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