Exercício 17. Sejam E=e1, e2, e3, F=f1, f2, f3 e G=g1, g2, g3 bases tais que
ll e1=f1+2 f2 & g1=e1-2 e2 e2=f1-f3 & g2=e1+e3 e3=f2+f3 & g3=e2-e3
Determine a matriz MF G e obtenha as coordenadas do vetor u=(4,0,1)F na base G.

Passo 1

O enunciado dá três bases E,F,G de um espaço vetorial de dimensão 3 e expressa ei em função de fj e gk em função de eell. O objetivo é encontrar a matriz de mudança de base de F para G, que chamaremos de MFG, tal que
[vec u]G ;=; MFG,[vec u]F,
e em seguida calcular as coordenadas de vec u na base G sabendo que [vec u]F=(4,0,1).

Passo 2

Para montar MFG é conveniente primeiro achar as coordenadas de cada vetor da base G na base F. Como
g1=e1-2,e2, e1=f1+2,f2, e2=f1-f3,
temos
g1 =(f1+2f2) -2(f1-f3) =-f1+2f2+2f3
Analogamente,
g2 =e1+e3 =(f1+2f2) +(f2+f3) =f1+3f2+f3,
g3 =e2-e3 =(f1-f3) -(f2+f3) =f1-f2-2f3

Passo 3

Colocando essas coordenadas em colunas, obtemos a matriz que leva coordenadas em G para coordenadas em F:
P = -1 & 1 & 1 2 & 3 & -1 2 & 1 & -2 ,
pois [vec v]F=P,[vec v]G.

Passo 4

Queremos MFG tal que [v]G = MFG [v]F. Logo
MFG = P^-1
Calculamos det P = 3 e
adj(P) = -5 & 3 & -4 2 & 0 & 1 -4 & 3 & -5 ,
então
MFG = P^-1 = 13 , adj(P) = -tfrac53 & 1 & -tfrac43 [6pt] tfrac23 & 0 & tfrac13 [6pt] -tfrac43 & 1 & -tfrac53 ]

Passo 5

Para [u]F = (4,0,1), temos
[u]G = MFG 4 0 1 = -tfrac53 cdot 4 + 1 cdot 0 - tfrac43 cdot 1 [4pt] tfrac23 cdot 4 + 0 cdot 0 + tfrac13 cdot 1 [4pt] -tfrac43 cdot 4 + 1 cdot 0 - tfrac53 cdot 1 = -8 3 -7 ]

Resposta

A matriz de mudança de base de F para G é
MFG = -tfrac53 & 1 & -tfrac43 tfrac23 & 0 & tfrac13 -tfrac43 & 1 & -tfrac53 ,
e as coordenadas de vec u na base G são
[vec u]G=(-8,,3,,-7)

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