Exercício 16 - (UFSC, 2019) Considere a função definida pela lei
(01) O domínio da função f é R.;
(02) A imagem da função f é R;
(04) 0 valor de f(-raiz[3]216) é -6 ;
(08) A função f é crescente para 72<x<8, decrescente para x >= 8 e constante para x<72;
(16) 0 valor máximo da função f é y=13;
(32) Se o contradomínio da função f é R, então f é bijetora;
e apresenta seis afirmações com pesos 1, 2, 4, 8, 16 e 32, pedindo a soma dos pesos das afirmativas verdadeiras. Vamos analisar cada uma: domínio, imagem, valor em um ponto, monotonicidade, máximo e bijetividade.
Passo 2
Verificamos o domínio: as três regras cobrem todo xinR. Logo, a afirmativa (01) “o domínio de f é R” é verdadeira.
Passo 3
Determinamos a imagem.
Para x<tfrac72, f(x)=4.
Para tfrac72<= x<8, f(x)=2x-3 varia de 4 (em x=tfrac72) até valores que se aproximam de 13 ao se aproximar de 8 pela esquerda.
Para x>=8,
f(x)=-x^2+16x-51 = 13 - (x-8)^2,
que atinge 13 em x=8 e decresce para -infty.
Assim a imagem é (-infty,13], não todo R. A afirmativa (02) é falsa.
Passo 4
Calculamos f(-raiz[3]216).
Como raiz[3]216=6, temos x=-6<tfrac72 e a regra dá f(-6)=4.
A afirmativa (04) dizia “f(-raiz[3]216)=-6”, o que é falso.
Passo 5
Analisamos a monotonicidade:
Para x<tfrac72, f(x)=4 é constante.
Para tfrac72<x<8, f(x)=2x-3 tem derivada 2>0, logo é crescente.
Para x>=8, f(x)=13-(x-8)^2 decresce (derivada negativa para x>8 e nula em x=8).
Portanto, a afirmativa (08) é verdadeira.
Passo 6
O valor máximo de f ocorre em x=8, dando
f(8)=13-(8-8)^2=13
Logo, a afirmativa (16) “o valor máximo de f é y=13” é verdadeira.
Passo 7
Se o contradomínio é R, para ser bijetora f precisaria ser injetora e sobrejetora em R. Mas já vimos que sua imagem é (-infty,13], não é sobrejetora em R, e tampouco injetora (por ex., vários x<tfrac72 dão o mesmo valor 4). Então a afirmativa (32) é falsa.
Passo 8
Somamos os pesos das afirmativas verdadeiras:
(01) peso 1, (08) peso 8 e (16) peso 16.
SOMA = 1 + 8 + 16 = 25.