Seja f(x, y)=llx+y^4x^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0). Determine partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar as derivadas parciais de uma função de duas variáveis, f(x, y) , em relação a x e a y . A função é definida de duas formas:
  • Para qualquer ponto (x, y) que não seja (0,0), a função é x + y^4x^2 + y^2.
  • No ponto (0,0), a função vale 0.
Então, vamos precisar usar derivadas parciais e talvez a regra do quociente, já que temos uma fração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Ela mede como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra fixa. Ou seja, partial fpartial x mostra como f muda quando x muda, com y constante, e partial fpartial y faz o mesmo para y .

Passo 3

Vamos começar calculando partial fpartial x para o caso em que (x, y) neq (0,0). Aqui, temos uma função do tipo uv, onde:
  • u = x + y^4
  • v = x^2 + y^2
Usamos a regra do quociente para derivar isso. A regra diz que:
partialpartial x(uv) = v cdot partial upartial x - u cdot partial vpartial xv^2

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de u e v em relação a x :
  • partial upartial x = partialpartial x(x + y^4) = 1 + 0 = 1
  • partial vpartial x = partialpartial x(x^2 + y^2) = 2x + 0 = 2x

Passo 5

Agora, aplicando a regra do quociente:
partial fpartial x = (x^2 + y^2) cdot 1 - (x + y^4) cdot 2x(x^2 + y^2)^2
Vamos simplificar o numerador:
(x^2 + y^2) - 2x(x + y^4) = x^2 + y^2 - 2x^2 - 2xy^4 = -x^2 + y^2 - 2xy^4
Então:
partial fpartial x = -x^2 + y^2 - 2xy^4(x^2 + y^2)^2

Passo 6

Agora, vamos calcular partial fpartial y para (x, y) neq (0,0). Novamente, usamos a regra do quociente:
partialpartial y(uv) = v cdot partial upartial y - u cdot partial vpartial yv^2
Onde:
  • partial upartial y = partialpartial y(x + y^4) = 0 + 4y^3 = 4y^3
  • partial vpartial y = partialpartial y(x^2 + y^2) = 0 + 2y = 2y

Passo 7

Aplicando a regra do quociente:
partial fpartial y = (x^2 + y^2) cdot 4y^3 - (x + y^4) cdot 2y(x^2 + y^2)^2
Simplificando o numerador:
4y^3(x^2 + y^2) - 2y(x + y^4) = 4x^2y^3 + 4y^5 - 2xy - 2y^5 = 4x^2y^3 - 2xy + 2y^5
Então:
partial fpartial y = 4x^2y^3 - 2xy + 2y^5(x^2 + y^2)^2

Resposta

As derivadas parciais da função são:
partial fpartial x(x, y) = -x^2 + y^2 - 2xy^4(x^2 + y^2)^2
e
partial fpartial y(x, y) = 4x^2y^3 - 2xy + 2y^5(x^2 + y^2)^2

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