Seja . Determine partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar as derivadas parciais de uma função de duas variáveis, f(x, y) , em relação a x e a y . A função é definida de duas formas:
Para qualquer ponto (x, y) que não seja (0,0), a função é x + y^4x^2 + y^2.
No ponto (0,0), a função vale 0.
Então, vamos precisar usar derivadas parciais e talvez a regra do quociente, já que temos uma fração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Ela mede como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra fixa. Ou seja, partial fpartial x mostra como f muda quando x muda, com y constante, e partial fpartial y faz o mesmo para y .
Passo 3
Vamos começar calculando partial fpartial x para o caso em que (x, y) neq (0,0). Aqui, temos uma função do tipo uv, onde:
u = x + y^4
v = x^2 + y^2
Usamos a regra do quociente para derivar isso. A regra diz que:
partialpartial x(uv) = v cdot partial upartial x - u cdot partial vpartial xv^2
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de u e v em relação a x :