(j) Determine a área da superfície da parte do parabolóide z=x^2+y^2 seccionada pelo plano z=1.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte da superfície do parabolóide
z = x^2+y^2
que fica abaixo do plano
z = 1
O conteúdo é cálculo de área de superfície de gráfico z=f(x,y), usando a fórmula de integrais de superfície.

Passo 2

Para uma superfície dada por z=f(x,y), a área é
A = integral duplaD raiz1 + l(fx(x,y)r)^2 + l(fy(x,y)r)^2;dA
Aqui f(x,y)=x^2+y^2, logo
fx = 2x, fy = 2y
e o fator sob a raiz fica
raiz1 + 4x^2 + 4y^2

Passo 3

A projeção D no plano xy é o disco
D = l(x,y)mid x^2 + y^2 <= 1r
Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta, com 0<= r<=1 e 0<=theta<=2pi, temos dA=r,dr,dtheta e
A = integral0^2pi!!integral0^1 raiz1 + 4r^2;r,dr,dtheta

Passo 4

Calcule o integral em r:
I = integral0^1 rraiz1+4r^2,dr
Fazendo u=1+4r^2implies du=8r,dr, obtemos
I = integralu=1^5 raizu8,du = 18cdot23l[u^3/2r]1^5 = 112l(5^3/2-1r)

Passo 5

Voltando ao integral em theta:
A = integral0^2pi I,dtheta = 2pi cdot 112l(5^3/2-1r) = pi6l(5^3/2-1r) = pi6l(5raiz5-1r)

Resposta

A = pi6l(5raiz5-1r)

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