Exercício 2.18. Considere o campo vetorial
\vec{F}(x, y, z)=\left(0,-z^{2}, y z\right)
(a) Existe um campo vetorial \vec{G} tal que \operatorname{rot} \vec{G}=\vec{F} ? Justifique.
(b) \vec{F} é um campo conservativo? Justifique.
(c) Considere o hemisfério S=\left\{(x, y, z): x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, x \geq 0\right\}. Calcule diretamente a integral de superfície
\iint_{S} \operatorname{rot} \vec{F} \cdot d \vec{S}
escolhendo uma orientação para S.
(d) Usando o Teorema de Stokes, verifique se a sua resposta para o item anterior está correta (lembre-se de parametrizar a fronteira de S de forma adequada à orientação que você escolheu para S ).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=\bigl(0,\,-z^2,\,y z\bigr)
e pede:
(a) se existe \vec{G} tal que \operatorname{rot}\vec{G}=\vec{F},
(b) se \vec{F} é conservativo,
(c) calcular diretamente
\iint_{S}\!\bigl(\operatorname{rot}\vec{F}\bigr)\cdot d\vec S
em S=\{x^2+y^2+z^2=1,\;x\ge0\},
(d) verificar com o Teorema de Stokes, parametrizando a fronteira de S.

Passo 2

Para (a) usamos que, em qualquer domínio simplesmente conexo, um campo que seja rotacional de outro deve satisfazer
\operatorname{div}\vec{F}=0.
Calculamos
\operatorname{div}\vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}(0)+\frac{\partial}{\partial y}(-z^2) +\frac{\partial}{\partial z}(y z) =0+0+y =y\neq0\\ (\text{em geral}).
Como \operatorname{div}\vec{F} não é identicamente zero, não existe campo \vec{G} com \operatorname{rot}\vec{G}=\vec{F}.

Passo 3

Para (b) um campo \vec{F} ser conservativo em um domínio simplesmente conexo exige \operatorname{rot}\vec{F}=\vec0. Calculamos
\operatorname{rot}\vec{F} =\bigl(\partial_y(yz)-\partial_z(-z^2),\;\partial_z(0)-\partial_x(yz),\;\partial_x(-z^2)-\partial_y(0)\bigr) =(z-(-2z),\,0,\,0) =(3z,0,0),
que não é o vetor nulo. Logo \vec{F} não é conservativo.

Passo 4

Para (c) queremos
\iint_{S}\bigl(\operatorname{rot}\vec{F}\bigr)\cdot d\vec S
em S hemisfério x\ge0. Como S faz parte da esfera unitária, o vetor normal unitário é \vec n=(x,y,z). Logo
\bigl(\operatorname{rot}\vec{F}\bigr)\cdot\vec n =(3z,0,0)\cdot(x,y,z)=3x z.
Em coordenadas esféricas usuais ( x=\sin\varphi\cos\theta,\;z=\cos\varphi, raio 1) o elemento de área é dS=\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta, e a condição x\ge0 corresponde a \theta\in[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2], \varphi\in[0,\pi]. Assim
\iint_{S}3x z\,dS =3\int_{\theta=-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\!\int_{\varphi=0}^{\pi} \bigl(\sin\varphi\cos\theta\cdot\cos\varphi\bigr)\,\sin\varphi \,d\varphi\,d\theta.
Separe as integrais:
\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\cos\theta\,d\theta =2, \qquad \int_{0}^{\pi}\sin^2\varphi\,\cos\varphi\,d\varphi =\int_{u=0}^{0}u^2\,du =0.
Logo o produto é zero e
\iint_{S}\bigl(\operatorname{rot}\vec{F}\bigr)\cdot d\vec S=0.

Passo 5

Para (d) aplicamos Stokes:
\iint_{S}\operatorname{rot}\vec{F}\cdot d\vec S =\oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec r.
A fronteira \partial S é o círculo de interseção x=0,\;y^2+z^2=1. Parametrizamos
\vec r(t)=(0,\cos t,\sin t),\quad t\in[0,2\pi],
então
\vec F(\vec r(t)) =\bigl(0,-\sin^2t,\cos t\sin t\bigr), \quad d\vec r=(0,-\sin t,\cos t)\,dt.
O produto escalar é
\vec F\cdot d\vec r =\bigl(-\sin^2t\bigr)\bigl(-\sin t\,dt\bigr) +(\cos t\sin t)(\cos t\,dt) =\sin^3t\,dt+\sin t\cos^2t\,dt =\sin t\,dt.
Integrando de 0 a 2\pi:
\oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec r =\int_{0}^{2\pi}\sin t\,dt =0,
coincidindo com o resultado direto.

Resposta

(a) Não existe, pois \operatorname{div}\vec{F}=y\neq0.
(b) Não é conservativo, pois \operatorname{rot}\vec{F}=(3z,0,0)\neq\vec0.
(c) \displaystyle\iint_{S}\operatorname{rot}\vec{F}\cdot d\vec S=0.
(d) Pela integral de linha de Stokes obtém-se também 0, confirmando (c).

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