Exercício 2.18. Considere o campo vetorial
(a) Existe um campo vetorial
tal que
? Justifique.
(b)
é um campo conservativo? Justifique.
(c) Considere o hemisfério
. Calcule diretamente a integral de superfície
escolhendo uma orientação para
.
(d) Usando o Teorema de Stokes, verifique se a sua resposta para o item anterior está correta (lembre-se de parametrizar a fronteira de
de forma adequada à orientação que você escolheu para
).
(b)
(c) Considere o hemisfério
(d) Usando o Teorema de Stokes, verifique se a sua resposta para o item anterior está correta (lembre-se de parametrizar a fronteira de
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede:
(a) se existe tal que
,
(b) se é conservativo,
(c) calcular diretamente
(a) se existe
(b) se
(c) calcular diretamente
em
,
(d) verificar com o Teorema de Stokes, parametrizando a fronteira de .
(d) verificar com o Teorema de Stokes, parametrizando a fronteira de
Passo 2
Para (a) usamos que, em qualquer domínio simplesmente conexo, um campo que seja rotacional de outro deve satisfazer
Calculamos
Como
não é identicamente zero, não existe campo
com
.
Passo 3
Para (b) um campo
ser conservativo em um domínio simplesmente conexo exige
. Calculamos
que não é o vetor nulo. Logo
não é conservativo.
Passo 4
Para (c) queremos
em
hemisfério
. Como
faz parte da esfera unitária, o vetor normal unitário é
. Logo
Em coordenadas esféricas usuais (
, raio
) o elemento de área é
, e a condição
corresponde a
,
. Assim
Separe as integrais:
Logo o produto é zero e
Passo 5
Para (d) aplicamos Stokes:
A fronteira
é o círculo de interseção
. Parametrizamos
então
O produto escalar é
Integrando de
a
:
coincidindo com o resultado direto.
Resposta
(a) Não existe, pois
.
(b) Não é conservativo, pois .
(c)
(d) Pela integral de linha de Stokes obtém-se também , confirmando (c).
(b) Não é conservativo, pois
(c)
(d) Pela integral de linha de Stokes obtém-se também