Exercício 6 Sejam T: V W e S: W U transformações lineares.
Mostre que Im(S circ T) subset ImS. Mostre também que se S circ T é sobrejetora então S também é sobrejetora.

Passo 1

O enunciado fala de duas transformações lineares T:Vto W e S:Wto U, e pede para mostrar duas coisas: que Im(Scirc T)subset ImS e que se Scirc T é sobrejetora então S também é sobrejetora. Vamos usar definições de imagem de transformação linear e argumento por elementos.

Passo 2

Definição: para uma transformação linear L:Xto Y, a imagem é ImL=,yin Y: y=L(x) para algum xin X. Para provar Im(Scirc T)subset ImS, pegamos um elemento arbitrário de Im(Scirc T) e mostramos que ele está em ImS.

Passo 3

Seja yin Im(Scirc T). Então por definição existe vin V tal que
(Scirc T)(v)=y
Mas (Scirc T)(v)=S(T(v)), logo y=S(T(v)). Como T(v)in W, definindo w=T(v) temos y=S(w), o que mostra que yin ImS. Como y foi arbitrário, concluímos Im(Scirc T)subset ImS.

Passo 4

Para a segunda parte, suponha que Scirc T seja sobrejetora. Isso significa que para todo uin U existe vin V tais que
(Scirc T)(v)=u
Então u=S(T(v)). Defina w=T(v)in W. Temos S(w)=u. Como u era arbitrário em U, isso mostra que para todo uin U existe win W tal que S(w)=u, ou seja, S é sobrejetora.

Resposta

Im(S\circ T) \subset Im(S) e se S\circ T é sobrejetora então S também é sobrejetora.

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