Exercício 6 Sejam
e
transformações lineares.
Mostre que
. Mostre também que se
é sobrejetora então
também é sobrejetora.
Mostre que
Passo 1
O enunciado fala de duas transformações lineares
e
, e pede para mostrar duas coisas: que
e que se
é sobrejetora então
também é sobrejetora. Vamos usar definições de imagem de transformação linear e argumento por elementos.
Passo 2
Definição: para uma transformação linear
, a imagem é
. Para provar
, pegamos um elemento arbitrário de
e mostramos que ele está em
.
Passo 3
Seja
. Então por definição existe
tal que
Mas
Passo 4
Para a segunda parte, suponha que
seja sobrejetora. Isso significa que para todo
existe
tais que
Então
Resposta
Im(S\circ T) \subset Im(S) e se S\circ T é sobrejetora então S também é sobrejetora.