Exercício 1 Dada uma transformação linear
definem-se os conjuntos
(a) Mostre que
é subespaço vetorial de
.
(b) Mostre que
é subespaço vetorial de
.
© Mostre que
é injetiva se, e somente se,
.
(b) Mostre que
© Mostre que
Passo 1
O exercício trata de uma transformação linear
, define-se o núcleo
e a imagem
. Vamos usar os conceitos de subespaço vetorial (conter o vetor zero, fechado sob soma e multiplicação escalar) e a definição de injetividade para resolver as três partes.
Passo 2
Para mostrar que
é subespaço de
, primeiro notamos que
implica
. Em seguida, se
, então
portanto
. Por fim, para qualquer escalar
e
, temos
logo
. Assim,
satisfaz as três condições e é subespaço de
.
Passo 3
Para mostrar que
é subespaço de
, primeiro note que
está na imagem, então
. Sejam
e
dois vetores da imagem. Então
logo
. Para escalar
,
logo
. Isso prova que a imagem é fechada sob soma e escalar, sendo subespaço de
.
Passo 4
Para a injetividade, primeiro mostramos que se
é injetiva então
. De fato, se
então
e pela injetividade segue
, logo
só contém o vetor zero. Reciprocamente, se
e
, então
o que implica
e, portanto,
. Assim
e
é injetiva.
Resposta
Concluímos que:
(a) é subespaço vetorial de
.
(b) é subespaço vetorial de
.
© A transformação é injetiva se, e somente se,
.
(a)
(b)
© A transformação