Exercício 1 Dada uma transformação linear T: U V definem-se os conjuntos
ker(T)=x in U ; T(x)=0 e Im(T)=y in V ; T(x)=y , para algum x in U
(a) Mostre que ker(T) é subespaço vetorial de U.
(b) Mostre que Im(T) é subespaço vetorial de V.
© Mostre que T é injetiva se, e somente se, ker(T)=0.

Passo 1

O exercício trata de uma transformação linear T:Uto V, define-se o núcleo ker(T)=xin Umid T(x)=0 e a imagem Im(T)=yin Vmid y=T(x) para algum xin U. Vamos usar os conceitos de subespaço vetorial (conter o vetor zero, fechado sob soma e multiplicação escalar) e a definição de injetividade para resolver as três partes.

Passo 2

Para mostrar que ker(T) é subespaço de U, primeiro notamos que T(0)=0 implica 0inker(T). Em seguida, se u,vinker(T), então
T(u+v)=T(u)+T(v)=0+0=0,
portanto u+vinker(T). Por fim, para qualquer escalar alpha e uinker(T), temos
T(alpha u)=alpha,T(u)=alphacdot0=0,
logo alpha uinker(T). Assim, ker(T) satisfaz as três condições e é subespaço de U.

Passo 3

Para mostrar que Im(T) é subespaço de V, primeiro note que 0=T(0) está na imagem, então 0inIm(T). Sejam y1=T(u1) e y2=T(u2) dois vetores da imagem. Então
y1+y2=T(u1)+T(u2)=T(u1+u2)
logo y1+y2inIm(T). Para escalar alpha,
alpha y1=alpha,T(u1)=T(alpha u1),
logo alpha y1inIm(T). Isso prova que a imagem é fechada sob soma e escalar, sendo subespaço de V.

Passo 4

Para a injetividade, primeiro mostramos que se T é injetiva então ker(T)=0. De fato, se xinker(T) então T(x)=0=T(0) e pela injetividade segue x=0, logo ker(T) só contém o vetor zero. Reciprocamente, se ker(T)=0 e T(x1)=T(x2), então
T(x1-x2)=T(x1)-T(x2)=0,
o que implica x1-x2inker(T) e, portanto, x1-x2=0. Assim x1=x2 e T é injetiva.

Resposta

Concluímos que:
(a) ker(T) é subespaço vetorial de U.
(b) Im(T) é subespaço vetorial de V.
© A transformação T é injetiva se, e somente se, ker(T)=0.

Exercícios relacionados