Exercício 20. Calcule \iint_{D}(x+3 y) d x d y, onde D a região limitada por x=0, y=0 e y=4-3 x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla \iint_{D}(x+3y)\,dx\,dy, onde D é a região limitada por x=0, y=0 e y=4-3x.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A fronteira y=4-3x intercepta o eixo y em y=4 quando x=0.
  • A mesma reta intercepta o eixo x em x=\dfrac{4}{3} quando y=0.
  • Portanto, D é o triângulo de vértices \,(0,0),\,(0,4),\,\left(\dfrac{4}{3},0\right).
  • A função a integrar é x+3y, que é contínua em toda a região D.
O que se pede: calcular numericamente \iint_{D}(x+3y)\,dx\,dy.

Passo 2

Escolher a ordem de integração e escrever a integral iterada.
Como D é o triângulo com base no eixo x \left(0\le x\le \dfrac{4}{3}\right) e, para cada x fixo, y varia de 0 até 4-3x, uma forma direta é integrar primeiro em y e depois em x.
Escrevendo a integral iterada:
\iint_{D}(x+3y)\,dx\,dy = \int_{x=0}^{\tfrac{4}{3}} \left( \int_{y=0}^{4-3x} (x+3y)\,dy \right) dx.
Motivo rápido (didático): como a função é polinomial (continua) e a região é limitada, podemos aplicar a troca para integral iterada e escolher a ordem que facilite os limites. Aqui integrar em y primeiro é simples porque o limite superior é y=4-3x.

Passo 3

Calcular a integral interna \displaystyle \int_{0}^{4-3x} (x+3y)\,dy.
Procedimento: integrar termo a termo em y.
\int_{0}^{4-3x} (x+3y)\,dy = \int_{0}^{4-3x} x\,dy \;+\; \int_{0}^{4-3x} 3y\,dy.
Agora cada parcela:
\int_{0}^{4-3x} x\,dy = x\cdot y\Big|_{0}^{4-3x} = x(4-3x).
\int_{0}^{4-3x} 3y\,dy = 3\cdot\frac{y^{2}}{2}\Big|_{0}^{4-3x} = \frac{3}{2}(4-3x)^{2}.
Somando:
\int_{0}^{4-3x} (x+3y)\,dy = x(4-3x) + \frac{3}{2}(4-3x)^{2}.

Passo 4

Simplificar a expressão obtida para usar na integral em x.
Primeiro expandir (4-3x)^{2}:
(4-3x)^{2} = 16 - 24x + 9x^{2}.
Multiplicar por \dfrac{3}{2}:
\frac{3}{2}(4-3x)^{2} = \frac{3}{2}\big(16 - 24x + 9x^{2}\big) = 24 - 36x + \frac{27}{2}x^{2}.
Agora somar com x(4-3x)=4x-3x^{2}:
x(4-3x) + \frac{3}{2}(4-3x)^{2} = (4x-3x^{2}) + \big(24 -36x + \tfrac{27}{2}x^{2}\big).
Agrupando termos semelhantes:
= 24 + (4x-36x) + \left(-3x^{2}+\tfrac{27}{2}x^{2}\right) = 24 -32x + \frac{21}{2}x^{2}.
Portanto a integral dupla fica
\iint_{D}(x+3y)\,dx\,dy = \int_{0}^{\tfrac{4}{3}} \left(24 -32x + \frac{21}{2}x^{2}\right) dx.

Passo 5

Calcular a integral em x:
\int_{0}^{\tfrac{4}{3}} \left(24 -32x + \frac{21}{2}x^{2}\right) dx = \Big[24x -16x^{2} + \frac{7}{2}x^{3}\Big]_{0}^{\tfrac{4}{3}}.
Detalhe das primitivas:
  • \displaystyle \int 24\,dx = 24x.
  • \displaystyle \int -32x\,dx = -16x^{2}.
  • \displaystyle \int \frac{21}{2}x^{2}\,dx = \frac{21}{2}\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{7}{2}x^{3}.
Agora avaliar em x=\dfrac{4}{3} e em x=0.

Passo 6

Avaliar a expressão no limite superior e subtrair o inferior.
Calcular termo a termo em x=\dfrac{4}{3}.
  1. 24x em x=\dfrac{4}{3}:
24\cdot \frac{4}{3} = 32.
  1. -16x^{2} em x=\dfrac{4}{3}:
-16\left(\frac{4}{3}\right)^{2} = -16\cdot\frac{16}{9} = -\frac{256}{9}.
  1. \dfrac{7}{2}x^{3} em x=\dfrac{4}{3}:
\frac{7}{2}\left(\frac{4}{3}\right)^{3} = \frac{7}{2}\cdot\frac{64}{27} = \frac{448}{54} = \frac{224}{27}.
Somar os três resultados (lembrando que a avaliação em 0 é zero):
32 - \frac{256}{9} + \frac{224}{27}.
Colocar tudo sobre o mesmo denominador 27:
32 = \frac{864}{27},\qquad -\frac{256}{9} = -\frac{768}{27}.
Somando:
\frac{864}{27} - \frac{768}{27} + \frac{224}{27} = \frac{864 -768 +224}{27} = \frac{320}{27}.

Resposta

\dfrac{320}{27}

Exercícios relacionados