Exercício 20. Calcule \iint_{D}(x+3 y) d x d y, onde D a região limitada por x=0, y=0 e y=4-3 x.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla \iint_{D}(x+3y)\,dx\,dy, onde D é a região limitada por x=0, y=0 e y=4-3x.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A fronteira y=4-3x intercepta o eixo y em y=4 quando x=0.
A mesma reta intercepta o eixo x em x=\dfrac{4}{3} quando y=0.
Portanto, D é o triângulo de vértices \,(0,0),\,(0,4),\,\left(\dfrac{4}{3},0\right).
A função a integrar é x+3y, que é contínua em toda a região D.
O que se pede: calcular numericamente \iint_{D}(x+3y)\,dx\,dy.
Passo 2
Escolher a ordem de integração e escrever a integral iterada.
Como D é o triângulo com base no eixo x\left(0\le x\le \dfrac{4}{3}\right) e, para cada x fixo, y varia de 0 até 4-3x, uma forma direta é integrar primeiro em y e depois em x.
Motivo rápido (didático): como a função é polinomial (continua) e a região é limitada, podemos aplicar a troca para integral iterada e escolher a ordem que facilite os limites. Aqui integrar em y primeiro é simples porque o limite superior é y=4-3x.
Passo 3
Calcular a integral interna \displaystyle \int_{0}^{4-3x} (x+3y)\,dy.