Exercício 17. Calcule os limites abaixo, justificando seus cálculos.
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{4 x^{3}-3 x+1}{7 x^{3}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to -\infty}\frac{4x^3 - 3x + 1}{7x^3 - 1}.
Esse tipo de limite envolve quociente de polinômios de mesmo grau, então vamos usar a técnica de fatorar a maior potência de x para simplificar.

Passo 2

Em limites de quociente de polinômios onde o numerador e o denominador têm o mesmo grau n, o valor do limite quando x\to\pm\infty é a razão dos coeficientes dos termos de grau n. Aqui ambos têm grau 3.

Passo 3

Para deixar isso explícito, dividimos numerador e denominador por x^3:
\frac{4x^3 - 3x + 1}{7x^3 - 1} = \frac{x^3\bigl(4 - \tfrac{3}{x^2} + \tfrac{1}{x^3}\bigr)}{x^3\bigl(7 - \tfrac{1}{x^3}\bigr)}.

Passo 4

Como x\to -\infty, temos
\tfrac{3}{x^2}\to 0,\quad \tfrac{1}{x^3}\to 0,\quad \tfrac{1}{x^3}\to 0.
Logo o parêntese do numerador tende a 4 e o do denominador tende a 7.

Passo 5

Cancelando o fator x^3 (não zero para x\to -\infty) e tomando o limite dos parênteses, obtemos
\lim_{x\to -\infty}\frac{4x^3 - 3x + 1}{7x^3 - 1} = \frac{4}{7}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{7}

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