Exercício 17. Calcule os limites abaixo, justificando seus cálculos.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-3 x^{5}+2 x-8}{x^{6}+x+1}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to+\infty}\frac{-3x^{5}+2x-8}{x^{6}+x+1}.
Este limite envolve uma função racional. Para resolvê-lo, vamos comparar os graus dos polinômios no numerador e no denominador ou, de forma equivalente, dividir tudo pela maior potência de x.

Passo 2

O grau do numerador é 5 e o do denominador é 6. Como o denominador cresce mais rápido, é de se esperar que o limite seja zero. Para justificar, dividimos numerador e denominador por x^{6}.

Passo 3

Dividindo cada termo por x^{6}, obtemos
\frac{-3x^{5}+2x-8}{x^{6}+x+1} =\frac{-3\,\frac{x^{5}}{x^{6}}+2\,\frac{x}{x^{6}}-8\,\frac{1}{x^{6}}} {\frac{x^{6}}{x^{6}}+\frac{x}{x^{6}}+\frac{1}{x^{6}}} =\frac{-3/x+2/x^{5}-8/x^{6}}{1+1/x^{5}+1/x^{6}}.

Passo 4

Ao aplicar o limite x\to+\infty, cada termo do tipo 1/x^{k} (com k>0) tende a zero. Assim o numerador tende a
-3/x+2/x^{5}-8/x^{6}\;\longrightarrow\;0
e o denominador tende a
1+1/x^{5}+1/x^{6}\;\longrightarrow\;1.
Logo, o limite da fração é 0/1=0.

Resposta

0

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