Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
\int_{-\pi}^{\pi} \operatorname{sen}(3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-\pi}^{\pi} \operatorname{sen}(3x)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \operatorname{sen}(3x).
  • Os limites de integração são a=-\pi e b=\pi.
  • É solicitado o cálculo usando o Teorema Fundamental do Cálculo (integrar de -\pi a \pi).

Passo 2

Vou lembrar o que diz o Teorema Fundamental do Cálculo (versão usada para integrais definidas), de forma direta e prática: se f é contínua em [a,b] e F é uma primitiva (antiderivada) de f em [a,b], ou seja, F'(x)=f(x) para todo x em [a,b], então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui f(x)=\operatorname{sen}(3x). Logo o plano é: encontrar uma função F tal que F'(x)=\operatorname{sen}(3x), e então calcular F(\pi)-F(-\pi).

Passo 3

Encontrar a primitiva de \operatorname{sen}(3x). Lembrete da técnica: sabe-se que a derivada de \cos(u) em relação a u é -\operatorname{sen}(u). Usando a regra da cadeia (chain rule), a derivada de \cos(3x) em relação a x é
\frac{d}{dx}\cos(3x) = -\operatorname{sen}(3x)\cdot 3 = -3\operatorname{sen}(3x).
Isso implica que a derivada de -\dfrac{1}{3}\cos(3x) é
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{3}\cos(3x)\right) = -\frac{1}{3}\cdot(-3\operatorname{sen}(3x)) = \operatorname{sen}(3x).
Portanto uma primitiva (antiderivada) de \operatorname{sen}(3x) é
F(x) = -\frac{1}{3}\cos(3x).

Passo 4

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo com F(x)=-\dfrac{1}{3}\cos(3x). Assim
\int_{-\pi}^{\pi} \operatorname{sen}(3x)\,dx = F(\pi)-F(-\pi) = -\frac{1}{3}\cos(3\pi) - \left(-\frac{1}{3}\cos(-3\pi)\right).

Passo 5

Calcular os valores de cosseno necessários. Lembrando que o cosseno é uma função par: \cos(-\theta)=\cos(\theta). Então
\cos(3\pi)=\cos(-3\pi).
Além disso \cos(3\pi)=\cos(\pi+2\pi)=\cos(\pi)=-1. Portanto
\cos(3\pi)=\cos(-3\pi)=-1.

Passo 6

Substituindo esses valores em F(\pi)-F(-\pi):
F(\pi)-F(-\pi) = -\frac{1}{3}(-1) - \left(-\frac{1}{3}(-1)\right) = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 0.
Logo a integral vale zero.

Passo 7

Comentário extra (útil para a prova): dá para ver mais rápido sem primitiva, usando simetria. A função \operatorname{sen}(3x) é ímpar porque \operatorname{sen}(3(-x))=-\operatorname{sen}(3x). A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico [-a,a] é sempre zero. Mas como o enunciado pedia usar o Teorema Fundamental do Cálculo, fizemos também a primitiva e a substituição para confirmar o mesmo resultado. Pode usar qualquer uma das duas abordagens na prova — a simetria é mais rápida, a primitiva mostra direitinho o uso do Teorema.

Resposta

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