Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
\int_{-\pi}^{\pi} \operatorname{sen}(3 x) d x
\int_{-\pi}^{\pi} \operatorname{sen}(3 x) d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e . - É solicitado o cálculo usando o Teorema Fundamental do Cálculo (integrar de
a ).
Passo 2
Vou lembrar o que diz o Teorema Fundamental do Cálculo (versão usada para integrais definidas), de forma direta e prática: se
é contínua em
e
é uma primitiva (antiderivada) de
em
, ou seja,
para todo
em
, então
Aqui
. Logo o plano é: encontrar uma função
tal que
, e então calcular
.
Passo 3
Encontrar a primitiva de
. Lembrete da técnica: sabe-se que a derivada de
em relação a
é
. Usando a regra da cadeia (chain rule), a derivada de
em relação a
é
Isso implica que a derivada de
é
Portanto uma primitiva (antiderivada) de
é
Passo 4
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo com
. Assim
Passo 5
Calcular os valores de cosseno necessários. Lembrando que o cosseno é uma função par:
. Então
Além disso
. Portanto
Passo 6
Substituindo esses valores em
:
Logo a integral vale zero.
Passo 7
Comentário extra (útil para a prova): dá para ver mais rápido sem primitiva, usando simetria. A função
é ímpar porque
. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico
é sempre zero. Mas como o enunciado pedia usar o Teorema Fundamental do Cálculo, fizemos também a primitiva e a substituição para confirmar o mesmo resultado. Pode usar qualquer uma das duas abordagens na prova — a simetria é mais rápida, a primitiva mostra direitinho o uso do Teorema.