Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
\int_{-1}^{1} e^{-3 x} d x
\int_{-1}^{1} e^{-3 x} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Os limites de integração são
e .
O objetivo é obter o valor exato dessa integral definida.
Passo 2
Vou usar o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2). Ele diz o seguinte: se
é contínua em
e
é uma primitiva (antiderivada) de
— ou seja,
para todo
em
— então
Explicando de forma simples: em vez de somar infinitesimalmente, encontra-se uma função
cuja derivada volta a ser
; avaliar
nos extremos e subtrair dá a integral. Aqui
,
e
.
Passo 3
Agora preciso encontrar uma primitiva
de
.
Recordando uma fórmula básica: para uma constante
não nula,
Invertendo essa relação, uma primitiva de
é
, porque ao derivar
volta-se a
.
No nosso caso
. Assim uma primitiva de
é
Como verificação rápida:
, correto.
Passo 4
Aplico o Teorema Fundamental do Cálculo:
com
. Calculo os valores:
Portanto