Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
\int_{-1}^{1} e^{-3 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{1} e^{-3 x}\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \;e^{-3x}\;.
  • Os limites de integração são a=-1 e b=1.
    O objetivo é obter o valor exato dessa integral definida.

Passo 2

Vou usar o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2). Ele diz o seguinte: se f é contínua em [a,b] e F é uma primitiva (antiderivada) de f — ou seja, F'(x)=f(x) para todo x em [a,b] — então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Explicando de forma simples: em vez de somar infinitesimalmente, encontra-se uma função F cuja derivada volta a ser f; avaliar F nos extremos e subtrair dá a integral. Aqui a=-1, b=1 e f(x)=e^{-3x}.

Passo 3

Agora preciso encontrar uma primitiva F(x) de f(x)=e^{-3x}.
Recordando uma fórmula básica: para uma constante k não nula,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{k x}\bigr)=k e^{k x}.
Invertendo essa relação, uma primitiva de e^{k x} é \dfrac{1}{k}e^{k x}, porque ao derivar \dfrac{1}{k}e^{k x} volta-se a e^{k x}.
No nosso caso k=-3. Assim uma primitiva de e^{-3x} é
F(x)=\frac{1}{-3}e^{-3x}=-\frac{1}{3}e^{-3x}.
Como verificação rápida: F'(x) = -\frac{1}{3}\cdot(-3)e^{-3x}=e^{-3x}, correto.

Passo 4

Aplico o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{-1}^{1} e^{-3x}\,dx = F(1)-F(-1),
com F(x)=-\dfrac{1}{3}e^{-3x}. Calculo os valores:
F(1)=-\frac{1}{3}e^{-3},\qquad F(-1)=-\frac{1}{3}e^{3}.
Portanto
\int_{-1}^{1} e^{-3x}\,dx = -\frac{1}{3}e^{-3} -\Bigl(-\frac{1}{3}e^{3}\Bigr) = -\frac{1}{3}e^{-3} + \frac{1}{3}e^{3} = \frac{1}{3}\bigl(e^{3}-e^{-3}\bigr).

Resposta

\dfrac{1}{3}\bigl(e^{3}-e^{-3}\bigr)

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