Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
\int_{-1}^{1} x^{3} e{-x{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede que se calcule, usando o Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida
\int_{-1}^{1} x^{3} e^{-x^{4}}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é x^{3} e^{-x^{4}}.
  • Os limites de integração são a=-1 e b=1.
  • É pedido o valor numérico da integral.

Passo 2

Lembrete do que vamos usar: o Teorema Fundamental do Cálculo (parte essencial que usaremos) diz o seguinte. Se f é contínua em [a,b] e existe uma função F tal que F'(x)=f(x) para todo x em [a,b], então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Ou seja, para calcular uma integral definida podemos encontrar uma primitiva F de f (uma função cuja derivada é f) e avaliar F nos extremos. Aqui vamos encontrar uma primitiva de f(x)=x^{3}e^{-x^{4}} e aplicar a fórmula acima. Antes, é bom checar que f é contínua em [-1,1]: como polinômio e exponencial compostos são contínuos, f é contínua nesse intervalo.

Passo 3

Identificar uma primitiva por reconhecimento da derivada de uma função composta. Observação útil: a função g(x)=e^{-x^{4}} tem derivada dada pela regra da cadeia. Vamos calcular a derivada de g passo a passo:
  • A função externa é e^{u} com u=-x^{4}. A derivada de e^{u} em relação a u é e^{u}.
  • A derivada de u=-x^{4} em relação a x é -4x^{3}.
    Pelo produto da regra da cadeia, a derivada é
\frac{d}{dx} e^{-x^{4}} = e^{-x^{4}}\cdot(-4x^{3}) = -4x^{3} e^{-x^{4}}.
Repare que isso é muito próximo do nosso integrando x^{3} e^{-x^{4}}. De fato,
x^{3} e^{-x^{4}} = -\tfrac{1}{4}\,\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x^{4}}\bigr).
Essa observação nos diz imediatamente uma primitiva: uma antiderivada de x^{3} e^{-x^{4}} é
F(x) = -\tfrac{1}{4} e^{-x^{4}} + C,
pois derivando F obtemos F'(x)=x^{3} e^{-x^{4}} (esse passo pode ser verificado usando a conta da derivada acima).

Passo 4

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo com F(x)=-\tfrac{1}{4}e^{-x^{4}}. Assim
\int_{-1}^{1} x^{3} e^{-x^{4}}\,dx = F(1)-F(-1).
Calculemos F(1) e F(-1):
F(1) = -\tfrac{1}{4} e^{-1},\qquad F(-1) = -\tfrac{1}{4} e^{-(-1)^{4}} = -\tfrac{1}{4} e^{-1}.
Portanto
F(1)-F(-1) = -\tfrac{1}{4} e^{-1} - \bigl(-\tfrac{1}{4} e^{-1}\bigr) = 0.

Passo 5

Comentário alternativo (truque rápido que costuma salvar tempo na prova): note que x^{3} é uma função ímpar e e^{-x^{4}} é uma função par, logo o produto x^{3}e^{-x^{4}} é ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico [-a,a] é zero. Isso dá o mesmo resultado sem encontrar primitiva explicitamente. Mas como o enunciado pediu o uso do Teorema Fundamental do Cálculo, a resolução acima com a primitiva mostra diretamente a aplicação do teorema.

Resposta

\;0\;

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