Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
\int_{-1}^{1} x^{3} e{-x{4}} d x
\int_{-1}^{1} x^{3} e{-x{4}} d x
Passo 1
O enunciado pede que se calcule, usando o Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e . - É pedido o valor numérico da integral.
Passo 2
Lembrete do que vamos usar: o Teorema Fundamental do Cálculo (parte essencial que usaremos) diz o seguinte. Se
é contínua em
e existe uma função
tal que
para todo
em
, então
Ou seja, para calcular uma integral definida podemos encontrar uma primitiva
de
(uma função cuja derivada é
) e avaliar
nos extremos. Aqui vamos encontrar uma primitiva de
e aplicar a fórmula acima. Antes, é bom checar que
é contínua em
: como polinômio e exponencial compostos são contínuos,
é contínua nesse intervalo.
Passo 3
Identificar uma primitiva por reconhecimento da derivada de uma função composta. Observação útil: a função
tem derivada dada pela regra da cadeia. Vamos calcular a derivada de
passo a passo:
- A função externa é
com . A derivada de em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Pelo produto da regra da cadeia, a derivada é
Repare que isso é muito próximo do nosso integrando
. De fato,
Essa observação nos diz imediatamente uma primitiva: uma antiderivada de
é
pois derivando
obtemos
(esse passo pode ser verificado usando a conta da derivada acima).
Passo 4
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo com
. Assim
Calculemos
e
:
Portanto
Passo 5
Comentário alternativo (truque rápido que costuma salvar tempo na prova): note que
é uma função ímpar e
é uma função par, logo o produto
é ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico
é zero. Isso dá o mesmo resultado sem encontrar primitiva explicitamente. Mas como o enunciado pediu o uso do Teorema Fundamental do Cálculo, a resolução acima com a primitiva mostra diretamente a aplicação do teorema.